【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8， ∴反比例函数的解析式为y=， 将点B（a，1）代入y=中，得，a=8， ∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，∴
，
，
∴一次函数解析式为y=﹣x+5； （2）∵直线AB的解析式为y=﹣x+5， ∴C（10，0），D（0，5）， 如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∴E（0，4），F（8，0）， ∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2， 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD=在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC=∴AD=BC．
==
， ，
22．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
上任意一点，
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE?HF的值．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题； （2）只要证明∠CMD=△COA，求出sin∠COA即可； （3）由△EHM∽△NHF，推出
=
，推出HE?HF=HM?HN，又HM?HN=AH?HB，
推出HE?HF=AH?HB，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，连接OC． ∵AB⊥CD， ∴∠CHO=90°，
在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r﹣2，CH=4， ∴r2=42+（r﹣2）2， ∴r=5．
（2）如图1中，连接OD． ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴
=
=
，
∴∠AOC=∠COD， ∵∠CMD=∠COD， ∴∠CMD=∠COA， ∴sin∠CMD=sin∠COA=
=．
（3）如图2中，连接AM． ∵AB是直径， ∴∠AMB=90°， ∴∠MAB+∠ABM=90°， ∵∠E+∠ABM=90°， ∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E， ∵∠EHM=∠NHFM ∴△EHM∽△NHF， ∴
=
，
∴HE?HF=HM?HN， ∵HM?HN=AH?HB，
∴HE?HF=AH?HB=2?（10﹣2）=16．
23．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C； （1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长． 【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5， ∵S△ABC=S△ABD， ∴S△ABD=×5=设D（x，y）， ∴AB?|y|=×5|y|=
，解得|y|=3，
，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，
3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5， ∴AC=
=
，BC=
=2
，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴CF=BC=2∴
=
，
=
，解得OM=2，
=
，即
=
，解得FM=6，
，即
∴F（2，6），且B（4，0）， 设直线BE解析式为y=kx+m，则可得∴直线BE解析式为y=﹣3x+12， 联立直线BE和抛物线解析式可得∴E（5，﹣3）， ∴BE=
=
．
，解得
或
，
，解得
，
2017年广东省深圳市中考数学试卷(含答案)
