中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合及详细答案
一、反比例函数
1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数
（k为不等
于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．
【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b， ∴b=1，
∴一次函数解析式为：y=x+1，
∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上， ∴n=1+1， ∴n=2，
∴点A的坐标是（1，2）． ∵反比例函数 ∴k=1×2=2，
∴反比例函数关系式是：y=
的图象过点A（1，2）．
，当x＞0时，y随x的增大而减少， 而当x=1时，y=2，当
（2）解：反比例函数y=
x=6时，y= ，
∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值： ≤y≤2
【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．
2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是
4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
解方程组 ∴OA=OB，
，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称， ∴S△AOP=S△BOP ， ∴S△PAB=2S△AOP ．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = OC?AR+ OC?PS = ×3×4+ ×3×1= ， ∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，
设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立
，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，
联立
∴H（m，0），
，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）解：∠PAQ=∠PBQ． 理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3． 可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得：
，
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1． 当y=0时， x+ ﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）． 同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET， ∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED． ∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．
【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到
OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP ， 要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．
（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数
（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，
点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式； （3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式． 【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时： 正方形ABCD的边长为
．
，
．
（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时： 设正方形边长为a，易得3a= 解得a=
，此时正方形的边长为
或
∴所求“伴侣正方形”的边长为
（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，
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