人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_8

指数函数的图象与性质

y＝ax a>1 00时，y>1； 当x<0时，0

【知识拓展】

1．指数函数图象画法的三个关键点

1

画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．

a2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

(5)当x>0时，01 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

例1 (1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0

(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 C．2a<2c

－

B．a<0，b≥0，c>0 D．2a＋2c<2

答案 (1)B (2)D

解析 (1)如图，观察易知，a，b的关系为a

(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af(c)>f(b)，结合图象知， 00， ∴0<2a<1.

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f(c)<1，∴0

∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D.

思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(1)函数f(x)＝ax

－b

的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a>1，b<0 C．00

B．a>1，b>0 D．0

(2)(2016·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[－1,1] 解析 (1)由f(x)＝ax函数f(x)＝ax

－b

－b

的图象可以观察出，函数f(x)＝ax

－b

在定义域上单调递减，所以0

的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.

(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，

由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 指数函数的性质及应用:

命题点1 指数函数单调性的应用

例3 (1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A．1.72.5>1.73 C．0.8

－0.1

B．0.61>0.62

－

>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1

1???2?x－7，x<0，(2)设函数f(x)＝?若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

??x，x≥0，答案 (1)B (2)(－3,1)

解析 (1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数， ∴0.61>0.62.

－

1

(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为()a－7<1，

2111－

即()a<8，即()a<()3， 222∴a>－3.又a<0，∴－3

当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1. ∴0≤a<1，

综上，a的取值范围为(－3,1)． 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x范围是________． (2)函数f(x)?()?x－m|

(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值

122?2x?1的单调减区间为__________________________________．

答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]

mm

解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调

22递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

－m|

m

在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，

2

1?u

(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝??2?在R上为减函数， ∴函数f(x)?()?x122?2x?1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f(x)的减区间为(－∞，1]．

引申探究 函数f(x)＝4x－2x

＋1

的单调增区间是________．

答案 [0，＋∞)

解析 设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x≥1，得x≥0， ∴函数f(x)＝4x－2x

＋1

的单调增区间是[0，＋∞)．

命题点3 函数的值域(或最值)

1?x?1?x

例5 (1)函数y＝??4?－?2?＋1在区间[－3,2]上的值域是________．

(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．

31

，57? (2)或3 答案 (1)??4?3

1?x

解析 (1)令t＝??2?，因为x∈[－3,2]， 1?所以t∈??4，8?，

13

t－?2＋. 故y＝t2－t＋1＝??2?4

13

当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

243

，57?. 故所求函数的值域为??4?

(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

1?1

当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在??a，a?上单调递增， a所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)． 1当0

a1

又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，

a11

则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．

a31

综上，a＝3或a＝.

3

思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．