从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。专题限时集训(二十)坐标系与参数方程 不等式选讲
[建议用时：45分钟] [A组 高考题体验练]
1．(2017·全国卷Ⅰ)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
??x＝3cos θ，?
?y＝sin θ?
??x＝a＋4t，
(θ为参数)，直线l的参数方程为?
?y＝1－t?
(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. x22
[解] (1)曲线C的普通方程为＋y＝1．
9当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．
1分 2分
?由?x2
＋y2＝1，??9
?x＋4y－3＝0，
??x＝3，
解得?
?y＝0?
21
x＝－，??25或?24
y＝??25.
?2124?从而C与l的交点坐标为(3,0)，?－，?．
?2525?
|3cos θ＋4sin θ－a－4|
.
17当a≥－4时，d的最大值为
a＋9
. 17
4分
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝
5分
a＋9
由题设得＝17，所以a＝8;
17当a＜－4时，d的最大值为－a＋1
由题设得＝17，
17所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16．
2
7分
－a＋1
. 17
9分 10分
(2017·全国卷Ⅰ)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝－x＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①1分
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。当x<－1时，①式化为x－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x－x－2≤0，从而－1≤x≤1； 当x>1时，①式化为x＋x－4≤0， －1＋17
从而1＜x≤．
2
2
2
2
2分 3分
4分
??－1＋17
所以f(x)≥g(x)的解集为?x?－1≤x≤
2??
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
?
?. ?
5分 6分
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.7分 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一， 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]．
10分
2．(2017·全国卷Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
3??
[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝．
cos θ
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
6分
2
2
1分 3分 5分
π??1??于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·?sin?α－?? 3??2??π?3??
＝2?sin?2α－－?≤2＋3. ??3?2???π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12所以△OAB面积的最大值为2＋3．
10分
3
3
9分
(2017·全国卷Ⅱ)选修4－5：不等式选讲已知a>0，b>0，a＋b＝2.证明： (1)(a＋b)(a＋b)≥4， (2)a＋b≤2.
[证明] (1)(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋ab＋b2分 ＝(a＋b)－2ab＋ab(a＋b)＝4＋ab(a－b)≥4.
3
32
33
4
4
2
22
5
5
6
5
5
6
5
5
5分
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。(2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b ＝2＋3ab(a＋b)7分 ≤2＋＋4
3
33223
(a＋b)＝2＋
＋4
，
10分
所以(a＋b)≤8，所以a＋b≤2．
3．(2017·全国卷Ⅲ)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
??x＝2＋t，?
?y＝kt，?
x＝－2＋m，??
(t为参数)，直线l2的参数方程为?m
y＝??k
(m为参数)．设l1与l2的交点为P，
当k变化时，P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 1
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
ky＝??
设P(x，y)，由题设得?1
y＝??k消去k得x－y＝4(y≠0)．
2
2
2
2
1分 2分
－＋
，
得
4分
所以C的普通方程为x－y＝4(y≠0).5分
(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
2
2
2
6分
?ρ
联立?
?ρ
θ－sin2θθ＋sin θ
＝4，－2＝0
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 19122
故tan θ＝－，从而cosθ＝，sinθ＝.
31010代入ρ(cosθ－sinθ)＝4得ρ＝5， 所以交点M的极径为5．
2
2
2
2
8分
10分
(2017·全国卷Ⅲ)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3，x＜－1，??
[解] (1)f(x)＝?2x－1，－1≤x≤2，
??3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；
2
1分
2分
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1， 解得1≤x≤2；
3分
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2． 4分 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x－x＋m得
2
5分
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x．
2
2
6分
而|x＋1|－|x－2|－x＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x＋|x| 3?255?＝－?|x|－?＋≤， 2?44?
9分
352
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x＋x＝.
245??故m的取值范围为?－∞，?．
4??
10分
[B组 模拟题提速练]
1．(2017·南昌一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其
?x＝a＋2t，
参数方程为?
?y＝1＋2t
(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值.
2
?x＝a＋2t，
[解] (1)曲线C1的参数方程为?
?y＝1＋2t，
∴其普通方程为x－y－a＋1＝0，
2
2分
由曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρcosθ＋4ρcos θ－ρ＝0， ∴x＋4x－x－y＝0，
即曲线C2的直角坐标方程为y＝4x.
2
2
2
2
2
2
2
5分
(2)设A，B两点所对应参数分别为t1，t2，
?y2＝4x，联立?x＝a＋2t，
?y＝1＋2t
2
得2t－22t＋1－4a＝0，
2
∵两曲线有两个不同的交点，
则Δ＝(22)－4×2(1－4a)＞0，即a＞0，
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。??t1＋t2＝2，
由根与系数的关系可知?1－4a
t1·t2＝，?2?
根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又由|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|， 即t1＝2t2或t1＝－2t2，
??t1＋t2＝3t2＝2，
∴当t1＝2t2时，有???
t1·t2＝2t22＝1－4a
2，
解得a＝1
36
＞0，符合题意；
??t1＋t2＝－t2＝2，
当t1＝－2t2时，有?
??
t1·t2＝－2t22＝1－4a
2，
解得a＝9
4＞0，符合题意.
综上所述，实数a的值为136或9
4
．
(2017·南昌一模)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围； (2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．
[解] (1)由题f(x)≤2－|x－1|，即为??a?x－2???＋|x－1|≤1. 而由绝对值的几何意义知??a?x－2???＋|x－1|≥??a?2－1???
， ∵不等式f(x)≤2－|x－1|有解，
∴??a?2－1???
≤1，即0≤a≤4.
∴实数a的取值范围是[0,4].
(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零点为aa
2和1，当a＜2时，2
＜1，?－3x＋a＋1 ???x＜a2
?
??，
∴f(x)＝???x－a＋1 ?a????2≤x≤1??
，
3x－a－1 ＞，
7分
7分
8分
9分 10分2分
5分
2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训20坐标系与参数方程不等式选讲文
