初中数学竞赛教研专题讲义设计：“希望杯”赛题中的解题方法探解
“希望杯”赛题中的解题方法探解
“希望杯”赛题是值得探究的重大赛题之一，不仅题型新颖，创新，且解题方法灵活，多样，下面就以第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试试题 为例，谈谈其中有效的解题方法, 1.估算法
例1 在无理数5 ，6，7，8 中,介于
26?18?1与 之间的数有( )
22 A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 解析：因为4＜8＜9，所以2＜8＜3，所以3＜8+1＜4，所以
8?13＜＜2，
2226?17＜， 22因为25＜26＜36，所以5＜26＜6，所以6＜26+1＜7，所以3＜
所以介于
26?18?137与 之间的数为＜M＜,所以四个数都在之间，故选D.
2222点评：正确掌握无理数的估算方法是解题的关键，也是中考常见的题型，要熟练掌握和运用.
2.完全平方公式法 例2 已知x+
11=6（0＜x＜1）,则x?的值为 （ ） xxA. -5 B. -2 C. 5 D. 2 解析：设x?1x=m，则(x?121122)=m2，所以x-2+ =m，因为x+ =6，所以m=4，
xxx所以m=2或m=-2.因为0＜x＜1，所以
111＞x＞0，所以＞x＞0，所以x-＜0， xxx所以m=-2即x-1=-2，所以选B. x点评：根据0＜x＜1确定
1＞x的大小事解题的关键，其次，熟练掌握算术平方根的性质，x与被开方数的性质是一致的，也是解题推理的一个重要依据. 3.求和，构造方程组法
例3 有3个正整数a,b,c,并且a ＞b＞c.从中任取2个,有3种不同的取法.将每一种取法取出 的2个数分别作和及作差,得到如下6个数:42,45,64,87,109,151.则a?b?c的值
是 ( ) A.12532 B.12533 C.12534 D.12535
解析：根据题意，得取数的三种情况为，a,b,a,c.b,c，所以它们的和为a+b,a+c,b+c,它们
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的差为a-b,a-c,b-c，所以 a+b+a+c+b+c+a-b+a-c+b-c=4a+2b, 所以42+45+64+87+109+151=498, 根据题意，得
?4a?2b?498?2a?b?249?a?(a?b)?249???，所以，所以，解得a=98,b=53, ????a?b?151?a?b?151?a?b?151???222222根据b-c=42,得c=11,所以a?b?c=98?53?11=(100?2)?(50?3)?(10?1)
222 =10000-400+4+2500+300+9+100+20+1=10000+2500+34=12534，所以选C.
点评：解答此题，有三个关键点，一是利用所有数的和和最大数的和最大构造方程组，确定最大的两个数；二是利用最小数的差最小，确定最小的数，三是求平方和时，充分利用和的完全平方公式，以期计算更加流畅，更加简便. 4.作差法
例4 甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v1，v2，v3，v4，且v1＞v2＞v3＞v4＞0，他们沿 直跑道进行追逐赛的规则如下: ① 4人在同一起跑线上,同时同向出发;
② 经过一段时间后,甲、乙、丙同时反向,谁先遇到丁,谁就是冠军. 则 ( ) A.冠军是甲 B.冠军是乙 C.冠军是丙 D.甲、乙、丙同时遇到丁 解析：设运行了t，甲，乙，丙三人同时折返，根据题意，得：
甲、丁的距离为（v1-v4）t，乙、丁的距离为（v2-v4）t，丙、丁的距离为（v3-v4）t， 则甲、丁相遇的时间为
(v1?v4)(v?v)t，乙、丁相遇的时间为24t，丙、丁相遇的时间为
(v1?v4)(v2?v4)(v3?v4)t，
(v3?v4)所以
(v1?v4)(v2?v4)(v1?v4)(v2?v4)?(v1?v4)(v2?v4)2(v1?v2)v4t-t=t， t=
(v1?v4)(v2?v4)(v1?v4)(v2?v4)(v1?v4)(v2?v4)(v1?v4)(v2?v4)t-t＞0，
(v1?v4)(v2?v4)因为v1＞v2＞v3＞v4＞0，所以v1-v2＞0，所以
所以
(v?v)(v1?v4)(v?v)(v?v)t＞24t，同理可证24t＞34t，所以丙先遇到丁，所以冠
(v1?v4)(v2?v4)(v2?v4)(v3?v4)军是丙，所以选择C.
点评：把冠军归属转化为相遇时间的长短是解题的关键，其次，利用作差法比较数的大小也是数学中数的大小比较最常用的方法，要熟练驾驭. 5.配方法 例5设q=mn,p=
q?n?q?m,其中m,n是两个连续的自然数(m＜n).则p
( )
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A.总是奇数 B.总是偶数C.有时是奇数,有时是偶数 D.有时是有理数,有时是无理数 解析：因为q=mn,所以p=q?n?q?m=mn?n?mn?m?n(m?1)?m(n?1), 因为m,n是两个连续的自然数，所以n=m+1,m=n-1,
所以p=(m?1)(m?1)?m?m?(m?1)2?m2=m+1+m=2m+1,因为m是自然数，所以2m+1一定表示奇数，所以选A.
点评：利用已知进行等量代换，使得问题得到初步的化简，其次，熟练运用两个连续自然数的性质，对代数式进行彻底化简，最后利用奇数的表示法确定答案. 6整体法
x3?x?1例6 已知x-x-1=0，则= . 4x2x3?x2x2g(x?1)x2gx2x4??4?4=1. 解析：因为x-x-1=0，所以x+1=x,所以原式=
x4x4xx22点评：整体思想是数学的一种重要思想，根据题目已知的特点，结论的特点，选择恰当的整
体进行代换化简，往往会取得意想不到的解题效果，要多加练习. 7先公式，后求和法
22例7 已知有理数a,b,x,y 满足ax+by=3,ay-bx=5,那么(a?b)(x?y)的值是 ( )
22A.225 B.75 C.54 D.34
解析：因为ax+by=3,ay-bx=5,所以(ax?by)?9,(ay?bx)?25,
2222所以ax+2abcxy+by=9, ay-2abcxy+bx=25,
2222222222所以ax+by+ay+bx=34，
2222222222因为(a?b)(x?y)=ax+ay+bx+by，所以原式=34，所以选D.
222222点评：根据等式平方后的交叉项互为相反，可以利用完全平方公式求得平方和的和值，对所求结论利用乘法计算进行化简，从而建立起等式，解答自然简单. 8.和积变形法
22例8 已知a=5+2,b= 5-2,则a?b +7的平方根的值是 . 解析：因为a=5+2,b= 5-2,所以a+b=25,ab=1, 2222所以a?b=(a?b)?2ab?(25)?2=18.
所以a?b +7的值为25，所以a?b +7的平方根的值是±5.
点评：利用字母的和，字母的积，从而为构造使用完全平方公式创造条件，也就是为问题的破解创造解题的条件. 9.点的坐标绝对值化
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例9 若直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4,则b= .
b,所以直线与2b1b1x轴的交点坐标为（-，0）,所以直线与坐标轴围成的三角形面积为：|b||-|=|b||b|
22241212=b，所以,b=4，解得b=±4. 44解析：令x=0,得y=b,所以直线与y轴的交点坐标为（0，b）, 令y=0,得x=-点评：学会三种转化是解题的关键，一是把点的坐标转化为坐标的绝对值来表示线段的长度；二是把绝对值的积转化平方幂的形式；三是把求值转化为求一个正数的平方根问题. 10.勾股定理法
例10 如图,矩形纸片ABCO 平放在xOy 坐标系中,将纸片沿对角线CA 向左 翻折,点B 落在点D 处,CD 交x 轴于点E.若CE=5,直线AC 的解析式为y=- 是 .
1x+m,则点D 的坐标2
解析：根据折叠的性质，矩形的性质，得CE=EA,根据题意，得 OC=m，AO=2m,CE=EA=5, 所以OE=2m-5，在直角三角形OCE中，5?m?(2m?5)，解得m=4, 易证△OCE≌△DAE，所以DE=OE=3,AD=CO=4,过点D作DF⊥x轴,垂足为F， 根据同一三角形的面积相等，得DF=
22212, 52129222在直角三角形EDF中，根据勾股定理，得EF=DE?DF?3?=,
55所以OF=OE+EF=3+
9242412=,所以点D的坐标为（，-）. 5555点评：充分利用勾股定理求得相应线段的长度是解题的关键，其次，要学会根据点的位置确
把线段的长度转化为点的对应坐标也是解题的一项重要的基本功，需要不断强化提升. 11.不等式两边夹逼法
5y3＜＜,则x-y 的最小值是 . 9x55y35353解析：因为＜＜，所以y＞x,y＜x,所以x ＜y＜x，
9x59595例11 已知正整数x,y 满足
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所以-
353524x ＜-y＜-x，所以x-x ＜x-y＜x-x，所以x ＜x-y＜x， 595959因为x，y是正整数，所以x-y一定是正整数，
24 ＜x-y＜，没有整数解； 5948当x=2时，原不等式变形为 ＜x-y＜，没有整数解；
59612当x=3时，原不等式变形为 ＜x-y＜，没有整数解；
59816当x=4时，原不等式变形为 ＜x-y＜，没有整数解；
5920当x=5时，原不等式变形为2 ＜x-y＜，没有整数解；
91224当x=6时，原不等式变形为 ＜x-y＜，没有整数解；
591428当x=7时，原不等式变形为 ＜x-y＜，有整数解，3，所以x-y的最小值为3.
59当x=1时，原不等式变形为
点评：确定x-y的范围是解题的关键，学会不等式夹逼法，确定不等式组的整数解是解题核
心，分类思想是取得成功的核心要素. 12.作差，升幂，整体代入法
例12 已知m=n+2，n=m+2,(m≠n).求证：m?2mn?n的值. 解析：因为m=n+2，n=m+2,(m≠n)，所以m=mn+2m，n= mn+2n, 所以m+n=2mn+2m+2n,所以m?2mn?n=2m+2n=2（m+n）.
因为m=n+2，n=m+2,(m≠n)，所以m-n=n-m,(m≠n)，所以（m+n）（m-n）=-(m-n), 所以m+n=-1,所以原式=-2.
点评：升幂后求和为化简代数式提供依据，两个已知等式直接作差，确定m+n的值，为后面的整体代入求值奠定基础.
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