欧阳体创编 2024.02.03 欧阳美创编 2024.02.03
极化恒等式在向量问题中的应用专
题
时间:2024.02.03 创作:欧阳体 阅读以下资料:
引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明:不妨设AB?a,AD?b,
则AC?a?b,DB?a?b,
M
AC?AC?a?b?a?2a?b?bDB?DB22222????a?b?222 (1) (2)
2图1
?a?2a?b?b222(1)(2)两式相加得:2222???AC?DB?2?a?b??2?AB?AD?? ????结论:平行四边形对角线的平方和即是两条邻边平方和的两倍.
思考1:如果将上面(1)(2)两式相减,能获得什么结论呢?
221a?b=?a?b?a?b?————极化恒等式
???4?????对上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么?
几何意义:向量的数量积可以暗示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
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即:a?b?122AC?DB4??(平行四边形模式)
思考:在图1的三角形ABD中(M为BD的中点),此恒等式如何暗示呢?
因为AC?2AM,所以a?b?AM2?DB2(三角形模式)
例1.(浙江文15)在?ABC中,M是BC的中点,AM?3,BC?10,则
A
14AB?AC?____.
解:因为M是BC的中点,由极化恒等式得:B M
AB?AC?AM?2C
112BC=9?100= 16 44【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边
的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式。 目标检测
例2(自编)已知正三角形.ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则PA?PB的取值范围是________.解:取
AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为
正三角形,所以O为三角形ABC的重心,O在CD上, 且OC?2OD?2,所以CD?3,AB?23 (也可用正弦定理求AB) 又由极化恒等式得:
因为P在圆O上,所以当P在点C处时,|PD|max?3 当P在CO的延长线与圆O的交点处时,|PD|min?1 所以PA?PB?[?2,6]
【小结】涉及数量积的规模或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变成单变量,再用数形结合等办法求出单变量的规模、最值即可。 目标检测
例3.(浙江理7)在?ABC中,P0是边AB上一定点,满足P0B?且对边AB上任一点P,恒有PB?PC?P0B?PC。则( ) 0欧阳体创编 2024.02.03 欧阳美创编 2024.02.03
1AB,4欧阳体创编 2024.02.03 欧阳美创编 2024.02.03
A. ?ABC?90B. ?BAC?90 C. AB?ACD.AC?BC 目标检测 课后检测
1.在?ABC中,?BAC?60若AB?2,BC?DB?DA的最小值
3,D在线段AC上运动,
为
2.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则?PA?PB??PC的最小值为( ) A. ? B. ? C. ? D.?1
3.在?ABC中,AB?3,AC?4,?BAC?60,若P是?ABC所在平面内一点,且AP?2,则PB?PC的最年夜值为
x24. 若点O和点F(?2,0)辨别是双曲线2?y2?1(a?0)的中心和左焦
a141312点,点P为双曲线右支上任意一点则OP?FP的取值规模是. 5.在Rt?ABC,AC?BC?2,已知点P是?ABC内一点,则PC?(PA?PB)的最小 值是.
6.已知A、B是单位圆上的两点,O为圆心,且?AOB?120o,MN是圆
O的一条直径,点C在圆内,且满足OC??OA?(1??)OB(0???1),
则CM?CN的取值规模是()
A.???1??3?,1?B.??1,1?C.??,0?D.??1,0?
?4??2?欧阳体创编 2024.02.03 欧阳美创编 2024.02.03
极化恒等式在向量问题中的应用专题之欧阳体创编
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