2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...
x2?x(1)曲线y?2渐近线的条数为()
x?1(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】:C
x2?x??,所以x?1为垂直的 【解析】:lim2x?1x?1x2?xlim2?1,所以y?1为水平的,没有斜渐近线故两条选C x??x?1(2)设函数f(x)?(e?1)(e(A)(?1)n?1x2x?2)?(enx?n),其中n为正整数,则f'(0)?
(n?1)!
(B)(?1)(n?1)! (C)(?1)n?1nn!
(D)(?1)n! 【答案】:C
【解析】:f(x)?e(e所以f(0)?(?1)'n?1'x2xn?2)?(enx?n)?(ex?1)(2e2x?2)?(enx?n)??(ex?1)(e2x?2)?(nenx?n)
n!
(3)如果f(x,y)在?0,0?处连续,那么下列命题正确的是() (A)若极限limx?0y?0f(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微
x?yf(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微 22x?y(B)若极限limx?0y?0
(C)若f(x,y)在(0,0)处可微,则极限limx?0y?0f(x,y)存在
x?yf(x,y)存在 22x?y(D)若f(x,y)在(0,0)处可微,则极限limx?0y?0【答案】:
【解析】:由于f(x,y)在?0,0?处连续,可知如果limx?0y?0f(x,y)存在,则必有f(0,0)?limf(x,y)?0 22x?0x?yy?0这样,limx?0y?0f(x,y)f(?x,?y)?f(0,0)f(?x,?y)?f(0,0)就可以写成,也即极限存在,可知limlim222222?x?0?x?0?x??y?x??yx?y?y?0?y?0也即f(?x,?y)?f(0,0)?0?x?0?y?o?0,
?x?0?y?0limf(?x,?y)?f(0,0)?x2??y2?由可微的定义可?x2??y2。
?知f(x,y)在(0,0)处可微。 (4)设Ik??esinxdx(k=1,2,3),则有D
ekx2(A)I1< I2 【答案】:(D) (B) I2< I2< I3. (D) I1< I2< I3. 【解析】: Ik??esinxdx看为以k为自变量的函数,则可知 ekx2ekx2即可知Ik??esinxdx关于k在?0,??上为单调增Ik'?esink?0,k??0,??, 函数,又由于1,2,3??0,??,则I1?I2?I3,故选D ?0??0??1???1?????????(5)设?1??0?,?2??1?,?3???1?,?4??1?其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关 ?c??c??c??c??1??2??3??4?的是() (A)?1,?2,?3(B)?1,?2,?4 (C)?1,?3,?4(D)?2,?3,?4 k2 【答案】:(C) 0【解析】:由于??1,?3,?4??0c11?1?11?c1?0,可知?1,?3,?4线性相关。故选(C) ?11c3c41?1?1????11(6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且PAP???,P???1,?2,?3?,??2??Q???1??2,?2,?3?则Q?1AQ?() ?(A)?1??1??2?(B?1???)??1???? ?2???2??2(C)??1??(D)???2?? ??2????1??【答案】:(B) ?100??【解析】:Q?P??110?100??,则Q?1????110??P?1, ??001????001???100?故Q?1AQ????110??100??100??1??100??1??P?1AP??110????1??110???1??001????001?????110????????? ??001????2????001????2??故选(B)。 (7)设随机变量x与y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则p?x?y??()(A)15 (B)13 (C)25 (D)45 【答案】:(A) ?e?x?4y【解析】:?X,Y?的联合概率密度为f(x,y)??,x?0,y?00,其它 ???y则P?X?Y???x?4y???5yx??f(x,y)dxdy??y?0dx?0edx??0edy?15 (8)将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为 ) ( (A)1(B)【答案】:(D) 12(C)?12(D)?1 【解析】:设两段长度分别为x,y,显然x?y?1,即y??x?1,故两者是线性关系,且是负相关,所以相关系数为-1 二、填空题:9?14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. ... (9)若函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2f(x)?0及f(x)?f(x)?2e,则f(x)=________。 【答案】:ex 【解析】:特征方程为r?r?2?0,特征根为r1?1,r2??2,齐次微分方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0的通解为f(x)?C1e?C2e故f(x)?e (10) x2''''xx?2x.再由f(x)?f(x)?2e得2C1ex?C2e?2x?2ex,可知C1?1,C2?0。 'x?20x2x?x2dx________。 【答案】: ? 2【解析】:令t?x?1得 ?20x2x?x2dx??(t?1)1?t2dt???111?11?t2dt??2 (11)grad?xy???z?________。 ?y?(2,1,1)【答案】:?1,1,1? 【解析】:grad?xy????z?z1??y,x?,???1,1,1? ??2y?(2,1,1)?yy?(2,1,1)2(12)设 ????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?,则??yds?________。 ?【答案】: 3 1222222yds?y1?(?1)?(?1)dxdy?3y??????dxdy,其中?DD【解析】:由曲面积分的计算公式可知 D??(x,y)|x?0,y?0,x?y?1?。故原式?3?dy?011?y0y2dx?3?y2(1?y)dy?013 12(13)设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵E?xxT的秩为________。 【答案】:2 【解析】:矩阵xx的特征值为0,0,1,故E?xx的特征值为1,1,0。又由于为实对称矩阵,是可相似对角 T化的,故它的秩等于它非零特征值的个数,也即rE?xx?2。 TT???11(14)设A,B,C是随机事件,A,C互不相容,P(AB)?,P(C)?,则P(ABC)?________。 23【答案】: 3 4【解析】:由条件概率的定义,PABC???P?ABC?P?C?, 其中PC?1?P?C??1???12?, 331?P?ABC?,由于A,C互不相容,即AC??,P?AC??0,又 213,故PABC?. 24P?ABC??P?AB??P?ABC??ABC?AC,得P?ABC??0,代入得P?ABC????三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或...演算步骤. (15)(本题满分10分) 1?xx2?cosx?1?,?1?x?1 证明:xln1?x21?xx2?cosx?1?,可得 【解析】:令f?x??xln1?x2f'?x??ln?ln1?x1?x2?x??sinx?x21?x1?x?1?x? 1?x2x??sinx?x1?x1?x21?x1?x2?ln??x?sinx21?x1?x
2012考研数学一真题
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