a.绳索扭转数Tw：表示绳索打结时相对于定坐标系绕切线轴绕转的圈数，如果绳索的扭转率w沿着绳索保持不变，即相当于一个常数的时候： b.绳索自连接数:绳索的中心线轴向切面和绳索的表面一边的交线之间的连接数。
表4：绳索自连接数
IK=1 IK=-1 c.当绳索打结固定后，满足CWF定理，即绳结的缠绕数、自连接数和扭转数满足 IK?Tw?Wi。
其中：
1) 封闭的绳结线或两端固定的绳结线，当绳结的部分连续变形时其自连接
数IK为常值。 2) 绳结线在空间均匀膨胀时，扭转数不变；扭转数具有可加性，绳结线总
体的扭转数为各组成部分扭转数之和。 初始状态下的绳索，它的自动连接数为0，所以在以后绳结形成的过程中，绳索的扭转数和缠绕数相互转化，当绳索的扭转数为a时，其缠绕数为-a。因此在形成绳结时，绳索的扭转数近似于-1，这个意味着在形成绳结时绳索处于高能量状态。形成绳结的绳索一旦被放松，在能量的驱动下，绳索就有增加其缠绕数减少其扭转数的运动变形趋势，这样，绳结在接下来的打结操作中容易产生形变和滑落，不稳定。在连打两个单结的时候，=，其中，L是与绳子的本身的性质有关，w是个不变量，所以IK的值与的值有很大的关联，在步骤五代入数据中，我们得到连打两个相同的单结的缠绕数较大，而在连打两个单结时成镜面的打法的缠绕数比较小，因此，我们可以根据公式IK?Tw?Wi，推断出，连打两个单结时，互成镜像的打法不容易自动松脱，使用相同的打法比较容易自动松脱。
问题一小结：
形成绳结的松紧影响着打结质量的好坏，而形成的绳结的稳定性及绳结的质量和绳结的能量有很大的关系。绳结在低能量状态是稳定的。绳结处于高能量状态时，有像低能量状态转变的趋势，转变的方式往往是绳索发生变形，容易脱落。因此，在打结的时候，如果绳索具有较高的能量，容易在接下来的打结操作中发生从正确位置上滑动等不良现象。根据线绳的能量分布图（注明引用），线绳在
扭转数接近于零时，处于低能量稳定状态，此时绳结就不容易松，也就不容易脱落，就是我们所研究的其中一种结，两次打结的方向相反时，比较稳定。不同打结方法在绳结形成时绳索产生的扭转数不同，因此不同打结方法在绳结形成过程中使绳索具有不同的能量，只有在绳索扭转数接近于零的打法才能打出稳定而高质量的纽结。
初始状态绳索的自动连接数为零，在以后绳结形成的过程中，绳索的扭转数和缠绕的数相互转化，当绳索的扭转数为a时，其缠绕数为-a。因此在形成绳结时，绳索的扭转数近似为-1.?这个意味着在形成绳结时绳索处于一种高能量状态。一旦人为的力消失后，形成绳结的绳索放松在能量的驱动下，绳索就有增加其缠绕数减小其扭转数的运动变形趋势，这样，绳结正在接下来的打结操作中容易产生形变和滑落，很不稳定，这就是两次打法相同的结，比较不稳定，但具有良好的对称性，在医学上有着重要的作用。
综上所述，两次打结时，方向相反的结比较稳定，方向相同的时候比较容易脱落。
问题二的模型的建立与求解
复杂的绳结是由简单的单结组合而成，所以，我们先研究简单的单结，假设绳索不受到重力的影响，那么，单结在拉紧的时候由于两边受力相同，所形成的绳结可以近似看成两个对称的椭圆，在此只用研究一个椭圆即可。绳索在水平面内进行弯曲时，变量应遵循能量最小原则。如图所示，当向下弯曲时，可有无穷多的组合，即形状不唯一。但是只有在时，段间弹性势能最小，也就是说绳结弯曲变形的能量J最小。
图3：模型简化图1
只有当?1??2时，Jmin?k?2，考虑到实际情况中，?1，?2不相等，所以我们考虑?1-?2的值，它们的绝对值越小，它们弯曲变形的能量J越小，越稳定。 打第二个结是在第一个结拉紧的情况下，在其上打第二个结，类似研究只打单结的方法先测量出打第二个结，由于打法不同记不同种打法所产生的角度为，记它们的弯曲变形的总能量J越小，绳结就越不容易自动松脱。
由于在连续打结的过程中，会使其空间结构发生一定的改变，从而会使它的角度产生一定的误差，使结果有偏差，因此，我们根据绳结成线圈的对称性，可近似认为其形状为椭圆形。对于椭圆来说，其方程为:
b可以用表示椭圆度，同时，由于绳索本身有直径，记作2r，如图4所示 a
图4：椭圆度
它会影响椭圆a和b的值，因此我们近似把椭圆的方程写为
x?y(a?r)b2222?1 ：
但是对于线圈来说，不能使用?=最小偏差/最大偏差来表示线圈椭圆度。需要综合考虑绳结所围线圈的面积、线圈椭圆度等因素。
算法：
例如对于圆来说，a=b，L=2,代入第4个式子，可得，表明圆形线圈打出的结最不易松开。
但是对于绳结打结过程，由于形状不规则，应根据其对称性进行分析。其上半部分按第一部分绳结参数计算其线圈规则度，下半部分按第二部分绳结参数计算其线圈规则度，总线圈规则度为.
即：
.
16?2a1a2b1b2???1?2?3(a?b)3(a?b)L2[11?a1b1][22?a2b2]22S总??S椭圆??
由日常经验可知，在解绳结时，绳结之间的空隙越大，绳结越容易解开，也
更容易自动松脱，根据椭圆的面积公式，我们可以推出，绳索的直径越大，在相同的打结方法之下，椭圆的短半轴越大，椭圆的面积越大，根据这个数学模型，我们推出绳索的直径越大，绳结越容易自动松脱。
绳索打结的松紧度与?1和?2的角度只差有关，也与所求的椭圆面积有关。我
们用MATLAB程序画出了在角度与面积的双重影响下，绳结的能量值的三维图像，如图5所示:
图5：绳结的能量值
从图中我们可以看出，在三维图形下有一个最低值，即当线圈所围面积最小，
?1??2时，机械能最小，绳结最稳定，绳结最不容易自动脱结。当线圈面积一定是，两边角度差值越大，绳结机械能越大，绳结越不稳定，绳结越容易自动松脱；在角度相同的情况下，线圈所围面积越小，绳结的机械能越小，绳结越不容易自动松脱。
其次建立模型f?max(sumk(?1??2)2?s椭圆），当f越小时，整个绳结的机械能越小，越稳定。可以用matlab来编写程序，做出其对应的图。
在matlab中，我们称?1和?2为x,y，我们对于椭圆的面积?ab，是可以直接用excel处理的，为了便于matlab程序，s椭圆记为z，则有画图程序：
程序1
x=0:pi/2; y=0:pi/2;
z=1:5;
[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);
f=(x-y).^2.*z; isosurface(x,y,z,f)
（1）改变z值的范围，其对应的f值也相应变化。f随着z的增大而有增大的趋势，也就是说，当?1和?2值是固定的时候，椭圆面积越大越容易脱落。我们可以从图中知道，z的改变并不会使能量值发生线性变化，在同一次打结中，可以把与绳索自身相关系数的k记为1，这样就省去了讨论k的值。
图6：能力值变化图
（2）改变x值的范围，由于x和y的值是可以随机变化的，我们可以只考虑
?其中一个的变化。且?1，?2?[0,]，当?1-?2的值越小时，越稳定。此时椭圆的
2
面积是一定的，我们考虑其中一个θ值的变化，得出是f的值是不一样的。当x和y的的绝对值之差越大时，绳索的两次所受张力之和比较大，有利于绳索想保持原来的状态的趋势，当外界给的力撤销以后，比较容易脱落。
图7：张力模型
绳索内部的构造是会影响绳结的松紧度的，在生活中，我们由上面的模型判断绳索的直径越大绳结就越稳定，但是绳索的直径是通过什么来影响绳结的稳定性呢？我们还得考虑其他的因素，综合来。在考虑绳索直径对绳结松紧的时候，我们借鉴了《玉米茎秆成捆直径与捆绳张力关系试验分析》中的一些方法和数据，知道绳的直径能够影响张力的大小，我们知道张力越大，物体想保持原样的趋势越大，产生的形变量越大，捆绳就容易脱落。在我们研究的绳结问题中，绳索的直径能影响结扣的松紧度，我们将其模型简化成绳结问题的模型，当绳索打完结以后，对绳结中的某一段进行受力分析：
通过查资料，我们得到了一组绳索直径与绳索自身张力的数据，根据这些数据，我们使用Excel、SPSS工具对数据进行分析，运用物理受力分析的方法建立模型，得出，绳索的直径越大，绳索的张力越大，绳索越容易自动松脱。
d??dN?2Fsin?2d?~d??,其中由于d?很小，故sin ??2?22?u1dN?G???2 G
为绳索随θ变化的支反力函数 为捆绳张力 为分离体的夹角 为绳索和绳索之间的摩擦因数 为绳索的重力; 表5：符号对应表2
在研究绳索受力的时候，我们近似把绳索看成是椭圆形的，每一小部分微元话，研究其力的作用方向，同时又方法话，认识绳索是质量可求的，长可求的。
图8：绳索受力椭圆示意图
对给出的两个方程，其解法为：
第八届数学建模认证杯网络挑战赛第一阶段A题优秀论文
