2019年学科专业知识模拟试卷解析（二）
（中学数学）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 【答案】B
【解析】本题考查了复数的知识。??=限。故选B。 2. 【答案】B
??=m(2,3)+(?1,2)=(2m-1，3m+2)，【解析】本题考查了向量的知识。m???+????=(2,3)-2(?1,2)= (4,?1)。因为(m????)//(????)，所以1-2m=(3m+2)×4，所以m=-1。故???-2???+???-2??
2
3+4??1???
=
(3+4??)(1+??)(1???)(1+??)
=?2+2??，对应点(?2,2)在第二象
1717
选B。 3. 【答案】A
【解析】本题考查了三角函数的知识。由余弦定理可得cos∠BAC=?2，所以∠BAC =3。故选A。 4. 【答案】D
【解析】本题考查了解析几何的知识。直线方程为??=√3??，圆的标准方程为??2+(???2)2=4，圆心(0, 2)到直线的距离??=√22?12=2√3 。故选D。 5. 【答案】C
【解析】本题考查了三角函数的知识。由2?????2≤2x-4≤2????+2，??∈??，得2?????4≤2x≤2????+
3??4
??
??
??
??
|√3×0?2|√(√3)2+(?1)2
1
2??
????2+????2?????2
2?????????
=
25+9?492×5×3
=
=1，由垂径定理知所求弦长为??=2×
，??∈??，所以?????8≤x≤????+
??3??8
，??∈??。故选C。
6. 【答案】D
【解析】本题考查了函数的知识。因为f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)= 1，于是?1≤??(??-2)≤1等价于??(1)≤??(??-2)≤??(?1)。又因为f(x)在(-∞, +∞)单调递减，所以?1≤??-2≤1，即1≤??≤3。故选D。 7. 【答案】B
【解析】本题考查了概率的知识。第七次摸到红球的可能性与前六次都没有关系，盒子里有
红、白两个小球，所以第七次摸到红球的可能性仍是。故选B。
2
1
8. 【答案】D
【解析】本题考查了课标的知识。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。故选D。
9. 【答案】C
【解析】本题考查了课标的知识。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。故选C。
10. 【答案】D
【解析】本题考查了课标的知识。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，经历是在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验是参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验；探索是独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区別和联系，获得一定的理性认识。故选D。
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 【答案】8 【解析】本题考查了不等式的知识。根据不等式ab≤(xy=2x?2??≤2(
1
1??+2??2
21
??＋??2
)，若实数2
x>0，y>0，
)=8。
1
12. 【答案】-3
【解析】本题考查了极限的知识。由题意可知，lim??→33)(??+??)，所以lim??→3k=-3。
13. 【答案】??+???1?2
【解析】本题考查了积分的知识。利用曲线围成的图形的特点，有界区域D的面积为：
1111111
∫0(??????????)????=∫0?????????∫0?????????=∫0????????+∫0???????(???)=????|+?????|=???
00
(???3)(??+??)
???3
??2?2??+?????3
=4，令??2?2??+??=(???
=4，所以a=1，所以??2?2??+??=(???3)(??+1)，所以
1+???1?1=??+???1?2。
14.【答案】2
【解析】本题考查了行列式的知识。 1??|1213
??2
4|=18+3??2+4???2??2?12?9??=??2?5??+6=(???2)(???3)=0。所以方9
程有2个根。
15.【答案】过程与结果、直观与抽象、直接经验与间接经验
【解析】本题考查了课标的知识。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。
三、解答题（本大题共7小题，第16~20题每题8分，第21~22题每题10分，共60分）
16. 【参考答案】
（1）Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，所以AB=2BC=2，AC=√3。又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，所以AE=AB=2，AF=2AB=1，所以AF=BC。FE=√????2?????2 =√22?12=√3。
（2）四边形ADFE是平行四边形。理由如下：
因为△ACD是等边三角形，所以∠DAC=60°，AC=AD，所以∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°。所以EF∥AD。因为AC=EF，AC=AD，所以EF=AD。所以四边形ADFE是平行四边形。
17. 【参考答案】
（1）由题意可知当n≥2时，????=??????????1=6??+5；当n=1时，??1=??1=11，所以????=6??+5。
??=??1+??211=2??1+d设数列{????}的公差为d。由{1，即{，可解得??1=4，d=3，所
??2=??2+??317=2??1+3d以????=3??+1。
经检验，????=3??+1满足题意。 （2）由（1）知????=
(????+1)??+1(????+2)??
1
=3(n+1)?2??+1。
又????=??1+??2+?+????，得
????=3×[2×22+3×23+?+(??+1)×2??+1]， 2????=3×[ 2×23+3×24+?+(??+1)×2??+2]， 两式作差，得?????=3×[2×2+2+?+2
2
3
??+1
?(??+1)×2
??+2
]= 3×[4+
4(1?2??)1?2
?
(??+1)×2??+2]=?3???2??+2，所以????=3???2??+2。
18. 【参考答案】
（1）证明：图1中，因为AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥
2??
AC。
即图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，从而BE⊥平面△A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面△A1OC。
（2）因为平面A1BE⊥平面BCDE，又由（1）知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，所以∠A1OC =2。如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1B=A1E= BC=ED=1，BC∥BD，所以B(，0，0)，E(?
√2??????，0)，得????2
√22
√2√2，0，0)，A1(0，0，)，C(0，22
??
=(?
√2√2????????，，0)，??1??22
=(0，
√2，2
?
√2??????)，????2
????=(?√2，0，0)。设平=??????
面A1BC的法向量??1=(??1，??1，??1)，平面A1CD的法向量??2=(??2，??2，??2)，平面A1BC??????=0??????=0???+??1=0???????????????????
与平面A1CD夹角为θ，则{1得{1，取??1=(1，1，1)；{2得
??1???1=0???????????????????????1?????=0???????=0121
??=02√6???{2，取????=(0，1，1)，从而cosθ=|?????????1，??2?|=3×2=3，即平面A1BC与平2??2???2=0√√面A1CD夹角的余弦值为。
√63
19. 【参考答案】
（1）由题意，椭圆C的标准方程为
??24
+
??22
=1，所以??2=4，??2=2，从而
??
√2。 2
??2=??2???2=2，所以a=2，c=√2，故椭圆C的离心率e=??=
???????OB??????=0，（2）设点A、B的坐标分别为(t, 2)，(??0, ??0)，其中??0≠0，因为OA⊥OB，所以OA即t??0+2??0=0，解得t=-(??0+
2??02
)??0
2??0??0
22
，又??0+2??0=4，所以|????|2=(??0???)2+(??0?2)2=
24??02??0
22
+(??0?2)2=??0+??0+2
+4=??0+
24???0
2
+
2)2(4???0
2??0
+4=
2??0
2
2
+??2+4(0
0
8
4)。
因为
2??0
2
+
8
2??0
22
≥4(0
度的最小值为2√2。
20. 【参考答案】
（1）因为f(x)=alnx+2??+2??+1，故f′(x)= ???2??2+2。
由于曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)=0，从而a-2+2=0，解得a=-1。
（2）由（1）知f(x)=-lnx++??+1(x>0)，f′(x)=??
2??2
??
13
13
1
3
1
12??
2+=
13??13
13
33??2?2???12
2??2
=
(3??+1)(???1)
2??2
。
令f′(x)=0，解得??1=1，??2=?（因??2=?不在定义域内，舍去）。 当??∈(0,1)，则f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数。 当??∈(1,+∞)，则f′(x)>0，故f(x)在(1,+∞)上为增函数。 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3。 21. 【参考答案】
（1）解题过程中的错误之处在于：没有讨论a=0时的情形，忽视了开口方向对题目的影响。产生错误的原因是对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。
（2）正确为D。不等式ax2+x+a<0的解集为?，若a=0，则不等式为x<0，解集不符合已知条件，则a≠0。要不等式ax2+x+a<0的解集为?，则需二次函数y=ax2+x+a的开口向上且与x轴无交点，所以a>0且?≤0，解得a≥2。
教学中对二次项系数为参数的题目养成首先讨论参数是否为0的习惯，并将数形结合的思想运用在解题过程中。
22. 【参考答案】
（1）根据“对数函数的概念”一课在教材中和知识体系中的地位和作用，新课程理念的指导下，本节课教学目标如下：
知识与技能目标：理解并掌握对数函数的概念，掌握对数函数的图像的初步画法，了解对数函数图像的基本性质。
过程与方法目标：通过观察对数函数的图像，从函数的基本性质等方面入手，发现并归纳对数函数的性质，体会数形结合的思想方法。
情感态度价值观目标：通过创设情景，激起学生的好奇心与求知欲。
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2019年学科专业知识模拟试卷解析(二)(中学数学)
