概率与统计
【2019年高考考纲解读】
1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.
2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注． 3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用. 4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．
5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等. 6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现． 【重点、考点剖析】
一、排列组合与计数原理的应用
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2. 名称 相同点 排列 组合 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 ①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关； ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 不同点 ②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 二、二项式定理 1．通项与二项式系数
n－rrTr＋1＝Crb，其中Crnan(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．
2．各二项式系数之和 (1)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. (2)Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋…＝2三、古典概型与几何概型 1．古典概型的概率公式
m事件A中所含的基本事件数P(A)＝＝. n试验的基本事件总数2．几何概型的概率公式
1
3
0
2
0
1
2
nnn－1
.
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积四、相互独立事件和独立重复试验 1．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率： PAB
P(B|A)＝.
PA
2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．独立重复试验、二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Cnp(1－p)
kk
n－k
，k＝0,1,2，…，n.
五、离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝aD(X)(a，b为实数)． 2．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【题型示例】
题型一 排列组合与计数原理
例1、(1)[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
2
(2)[2018·浙江卷]从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【解析】不含有0的四位数有含有0的四位数有
综上，四位数的个数为720＋540＝1 260. 【答案】1 260
＝720(个)． ＝540(个)．
【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.
【变式探究】(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种． 站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( ) A．24 B．18 C．16 D．10
解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A3种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C2·A2种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A3＋C2·A2＝10.选D. 答案：D
【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( ) A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
解析：解法一 记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为A2A3，A2A3，C2A2A3，C3A2A3，C3A2A3，故总编排方案有A2A3＋A2A3＋C2A2A3＋C3A2A3＋C3A2A3＝120(种)．
解法二 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C4A2A3＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)． 答案：A
【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国
123
123
123
123
1
23
123
23
23
123
123
123
23
23
1
2
3
1
2
3
学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( ) A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( ) A．9 B．10 C．11 D．12 答案 D
解析 根据题意个位数需要满足要求：
n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，
∴个位数可取0,1,2三个数， ∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，
∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．
【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
【变式探究】 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案 C
解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A2A3＝12(种)
22
抢法；
若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A2A3＝12(种)抢法；
若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A2C3＝6(种)抢法； 若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A3＝6(种)抢法． 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．
(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )
1
A.9种 B．18种 C．12种 D．36种 答案 B
解析 若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；
若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式． 题型二 二项式定理
2 3 4 2
22
22
?22?54
例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]?x＋?的展开式中x的系数为( )
?
x?
A．10 B．20 C．40 D．80
?22?5?2?rrr25－rr10－3r【解析】 ?x＋?的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(x)·??＝C5·2·x，令10－3r＝4，得rxx?
?
4
??
＝2.故展开式中x的系数为C5·2＝40. 故选C. 【答案】C
【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(x＋1)(x＋2)＝x＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________. 答案 16 4
解析 a4是x项的系数，由二项式的展开式得
3
2
5
4
3
2
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2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题19概率与统计教学案文含解析
