第6讲 双曲线
1．双曲线的定义
条 件 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 ||MF1|－|MF2||＝2a 2a<|F1F2| 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 结论1 结论2 M点的 轨迹为 双曲线 F1、F2为双曲线的焦点 |F1F2|为双曲线的焦距 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2图 形 范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2实虚轴 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c的关系 3.等轴双曲线及性质 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：
x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线?离心率e＝2?两条渐近线y＝±x相互垂直． 4．双曲线中一些常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
1
2b(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中
2
a最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜
b2
率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为2.
a(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则
S△PF1F2＝b2·
1
tan
θ2
，其中θ为∠F1PF2.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )
x2y2
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
mn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ [教材衍化]
x2y2
1．(选修2-1P61A组T1改编)若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离
ab等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
所以2a＝
2
2
xyabbc＝b. a2＋b2
2
2
2
又a＋b＝c，所以5a＝c.
c2
所以e＝2＝5，所以e＝5.
a2
答案：5
2．(选修2-1P62A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
2
x2y2
解析：设双曲线的方程为2－2＝±1(a＞0)，
aa把点A(3，－1)代入，得a＝8(舍负)， 故所求方程为－＝1.
88答案：－＝1
88
3．(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方
43程为________．
2
x2y2
x2y2
x2y2
x2y2x2y2
解析：设要求的双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1，
ab43
0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b＝c－a＝3，所以双曲线标准方程为x－＝1.
3
答案：x－＝1
3[易错纠偏]
(1)忽视双曲线的定义； (2)忽视双曲线焦点的位置；
(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．
1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________． 解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b＝c－a＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
97
答案：双曲线－＝1的下支
97
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为双曲线的离心率为________．
π
，则3
2
2
2
2
2
2
2
2
y2
y2
y2x2y2x2
x2y2
解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为2－2＝1，则渐近线的方程为y＝
abbbπc±x，由题意可得＝tan ＝3，b＝3a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在aa3ay2x2aaπy轴上，设双曲线的方程为2－2＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝
abbb3
232323
3，a＝3b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
333
3
2024届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-6-第6讲-双曲线
