2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．无数
2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（ ） A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y 3．要计算1+
+
+…+
的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（ ）
A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017
4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数 B．?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ
C．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点的概率是（ ） A．
1
B． C． D．
7．已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2017的值为（ ）
A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n 8．已知实数x，y满足A．6
B．5
C．4
D．3
|=3，|
|=7，|
|=11，|
|=9，则
?
的值（ ）
，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（ ）
9．已知空间四边形ABCD，满足|A．﹣1 B．0
C．
D．
10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ） A．72 B．120 C．192 D．240 11．已知P为双曲线
﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别
为A，B，则|PA|?|PB|的值为（ ） A．4
B．5
C． D．与点P的位置有关 12．已知函数f（x）=则k的取值范围是（ ） A．[，
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 ．
14．已知幂函数y=xa的图象过点（3，9），则
的展开式中x的系数为 ．
] B．[，+∞） C．[
，+∞）
D．[﹣
，
]
，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，
15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为 ．
16．AB=AC，BD为AC边上的中线，等腰△ABC中，且BD=3，则△ABC的面积最大值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知数列{an}前n项和为Sn，a1=﹣2，且满足Sn=an+1+n+1（n∈N*）．
2
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=log3（﹣an+1），求数列{
}前n项和为Tn，求证Tn＜．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；
（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率； 参考数据
若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．
（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=
的平均成本．
，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品
20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
3
（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由． 21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点． （i）求a的取值范围；
（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．
四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣
）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，
（α为参数）．
极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；
（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a （Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
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2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．无数
【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值． 【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．
【解答】解：复数f（n）=in（n∈N*），可得f（n）=
，k∈Z．
集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个． 故选：A．
【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．
2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（ ） A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y 【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【解答】解：∵x=30.5=
＞1，
0=log31＜y=log32＜log33=1， z=cos2＜0， ∴z＜y＜x． 故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．
3．要计算1+
+
+…+
的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（ ）
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