T?0范围内有交点时，表示车队可以在有限时间内消散，否则不能消散。
首先假设两波相遇之前该路段需求量始终为Q1，OA与CB相交处表示排队向上游延伸的最远处，设两波相遇时的时间为T，集结波波速为WI,II，消散波波速为WII,III，则根据两波相遇时波传动的距离相等这一关系可知：
WI,II?WII,III?(T?T0) (19)
其中：
WI,II?K1?Ks1Q1?S1?v（1-） fK1?Ks1KjWII,III?Ks1?Ks2S1?S2=v（1-) fKs1?Ks2Kj所以把上式代入（19）式得到：
T?K1?Ks1?Ks2?T0
K1?Ks2若T?T1,则说明在车队消散之前该路段上游需求流量发生了变化，需求量变为Q2，相应的密度变为K2。所以（19）式改写为：
WI,II?T1?WIV,II?(T?T1)?WII,III?(T?T0) (20)
其中： WIV,II?K3?Ks1Q2?S1?v（1-） fK2?Ks1Kj（K?Ks1?Ks2）?T0?(K2?K1)?T1所以有： T?j
K2?Ks2最后，我们可以根据公式：
x?WII,III?(T?T0)?vf(1?Ks1?Ks2)?(T?T0) （21） KJ从而解出本次事故引起的排队长，并且由图5-4-5可知车队消散时间为：
T??T?x/vm
其中：vm为路段通行能力为S2时的行车速度，vm?S2/Ks2 5.4.4模型一与模型二对比分析：
16
在问题二中，我们采取了两种模型对结果求解，第一种模型对车辆排队长度与车道通行能力，事故持续时间，上流车流量用采集的数据对它们之间的关系做了定性和定量的分析，但是我们采集的数据量过小，情况也较单一，所以跟实际情况可能有偏差。所以我们给出第二种比较科学的车流波动模型，我们假定在事故撤离前，集结波一直存在，消散波是在事故撤离后开始出现，对公式进行推导，进而得出车辆排队长度与车道通行能力，持续时间，上流车流量的关系式。但是这种模型就会忽略到事故在未撤离之前消散波也存在的情况。
5.5问题四模型的建立与求解
首先，我们上游来车通过红绿灯因素，求出一个在一个红绿灯周期内能通过的最大车流量数。因为来车的持续不断，我们忽略掉上游车辆在通过红绿灯时后来车辆会有间断的情况，所以假定红灯时车辆已在停止线后排成一排等待，绿灯后第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定的（视为平均的）时间间隔通过停止线。
记信号灯周期为T?s?,相位绿灯时间为tg?s?，绿灯后第1辆车通过停止线的时间为
t0?s?，直行或右转车辆通过停止线的时间为tg?s?，反映车辆通过路口不均匀性的折减系数为?，某相位下每小时通过停止线的最大车辆数为S（辆/h），又有红绿灯下控制下的十字路口的通行能力理论公式得：
3600tg?t0S??（+1）Tts （22）
通过查阅红绿灯交通流的相关数据，我们得到：
t0?2.3?s?,ts?2.5?s?~3.5?s???0.9
这里?是直行或右转车辆的折减系数取值,绿灯时间与信号灯周期之比称绿信比，记作
G=tg/T （23）
根据资料反映上游红绿灯路口有两条直行车道和旁边一条方向的右行车道，我们视其为一条道路上的三条车道，第i条车道通过最大车辆数以及整条道路的最大车辆数分别为：
Si?0.9?3600?30?2.3????1??652?辆/h?60?2.5? 17
i?1,2,3
?辆/h? S??Si?652?3?1956i?13得到S?1956?Q?1500，也就是说我们所得到的车道最大车流量大于上游来车车流量，所以每个周期内上游来车均能通过红绿灯，即每次通过的车流量均为Q。
下面我们采用等待制排队模型，通过数学计算，得出问题四的结果。首先，记队长
Ls为系统中顾客的平均数，等待队长Lq为系统中排队等待的顾客平均数，顾客平均等待时间Wq为顾客进入系统的时刻起直到开始接受服务为止的平均时间，平均逗留时间用?表示单位时间内顾客到达的Ws为顾客在系统中平均等待时间与平均服务时间之和。
平均数，用?表示单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数，因此达的平均时间，
11?表示相邻两顾客到
?表示对每个顾客的平均服务时间。
下面根据Little公式：
Ls??Ws?RWsLq??Wq?RWqWs?Wq?1R??1??Ls?Lq???Wq?TT??
我们将车辆视为顾客，通过事故地点视为接受服务，Lq表示车辆排队长度 ，Wq表示等候时间，?表示车来时的流量，?表示事故地点通行能力。
若要达到L的车辆排队长度，3条车道需要排队的总的车辆数为：
Q排?3?LL车身+L车距
根据资料我们取标准车身长L车身?5?m?，取车间距L车距?1?m?，代入上式得出至少排的 车辆数：
Q排=3?140?70(辆)5?1
通过分析我们可以得到，在某时刻前面积累的排队车辆加上后面来的车辆之和就是所累积的排队车辆数，所以我们可以得到公式：
18
Lq?(???)Wq??
Lq?Q排
代入数据得出车辆排队长度达到上游路口的时间：
Wq?15(min)
因此我们得出结论在事故持续不撤离要排队车辆达到L?140?m?至少需要15?min?。
六、模型评价与推广改进
6.1模型的优缺点分析
6.1.1 模型的优点
（1）对于问题一和问题二所构建的模型，我们分别从采集数据分析和理论分析导出公式两个方面分别求出事故发生前、事故发生时、事故撤离后的通行能力，且得出的结果的相对误差率符合实际要求，这样更能体现建立的模型的可行性与准确性，利用图形的方式清晰的表达了道路发生故障时可流通道路的通行能力的比较，形象生动。
（2）对于问题三，我们同样采用两个模型分别分析，一方面对采集的数据进行拟合，使模型相对简便化，得到与实际较符合的拟合方程模型，从而确定车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。另一方面我们根据车流波动理论进行理论的分析推导，具备一定的严密性和准确性，两方面的相互结合达到我们需要的理想结果。
（3）对于问题四首先我们技巧性地借助信号灯控制的十字路口的通行能力模型，得到一个周期通过红绿灯的车流量，然后我们采用简单的等待制排队模型，简单明了的得出了车流量与通行能力差值逐渐累积形成车辆排队，得出结论。 6.1.2 模型的缺点
（1）在数据的采集上比较单一，与实际情况会有一定的偏差。
（2）对于问题三、四模型的建立上我们考虑比较单一，假设与实际情况不相同，即理想化较高,得到的结果与事实有一定的误差。
19
6.1.3 模型的推广改进
任何数学模型都是建立在比较理想的条件下，而对于一些细节问题可能没法考虑，因此这与真实情况会有偏差，所以我们在模型改进方面给出的建议：每次在建模前尽可能的在现实的生活中多做实验，模拟题目中的情景，这样才能与真实情况相对符合，提高模型的精度。本模型需要改进的地方就是应模拟现场情景，收集更多的数据，实现模型与现实的高契合度。
对于问题一建立的模型，我们可以对交通异常事件对道路通行能力进行预算，进而可以对道路上各条车道上的车流量比例进行修改，从而减少事故对通行能力的影响。此种模型也适用于研究数据量较大，数据收集也比较容易的实际生活问题。
对于问题三及问题四的模型，我们可以用于事故对交通流的影响的研究以及对策分析，通过对车辆排队长度与各因素之间的关系，在事故发生后，交通警察可以采取疏散上游车流量，以及缩短交通撤离时间使得事故对交通流的影响降为最低。
七、参考文献
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《数学建模》，高等教育出版社，2011年。 ?2?姜启源 谢金星 叶俊，
《应用回归分析》，中国人民大学出版社，2007.7。 ?3?何晓群 刘文卿，
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2013年全国大学生数学建模竞赛A题
