二次根式复习讲义
知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如
的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，
【典型例题】 【例1】下列各式1）
1,2)?5,3)25?x?2,4)4,5)(?13)2,6)1?a,7)a2?2a?1，
其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、a B、?10 C、a?1 D、a2?1
2、在a、a2b、x?1、1?x2、3中是二次根式的个数有______个.
【例2】若式子1x?3有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]举一反三： 1、使代数式
x?3x?4有意义的x的取值范围是（ ） A、x>3
B、x≥3
C、 x>4
D 、x≥3且x≠4
2、如果代数式?m?1mn有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例3】若y=x?5+5?x+2009，则x+y= 解题思路：式子a（a≥0），??x?5?0?5?x?0, x?5，y=2009，则x+y=2014
举一反三：
1、若x?1?1?x?(x?y)2，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
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才有意义．
）
2、若x、y都是实数，且y=2x?3?3?2x?4，求xy的值 【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求a? 举一反三：
1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则3a?b? 。
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a(a?0)是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2?a(a?0)．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a?(a)2(a?0)
1的值。 b?2?a(a?0)3. a2?|a|??
?a(a?0)?注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
?a(a?0) 4. 公式a2?|a|??与(a)2?a(a?0)的区别与联系
??a(a?0) （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 【典型例题】
题型一：二次根式的双重非负性
a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?【例5】若则 ．
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举一反三：
21、若m?3?(n?1)?0，则m?n的值为 。
2二次根式的性质2 （公式(a)?a(a?0)的运用）
【例6】 化简：
a?1?(a?3)2的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三：
421、在实数范围内分解因式：x?9?__________,x?22x?2?__________
?a(a?0) 二次根式的性质3 （公式a2?a??的应用）
?a(a?0)?【例7】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是（ ） A、x?2 B、x?2
举一反三：
C、?x?2
D、2?x
1、根式(?3)2的值是( )
A．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2、若a－3＜0，则化简
a2?6a?9?4?a的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a
【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+(a?b)2 的结果等于（ ） ab A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a?1?(a?2)?______．
【例9】化简1?x?x?8x?16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ） （A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式(2?a)2?(a?4)2的值是常数2，则a的取值范围是（ ） （A）a≥4
（B）a≤2
（C）2≤a≤4
（D）a?2或a?422oa ?1 0
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【例10】化简二次根式a?a?2的结果是（ ） a2a?2
（A）?a?2 (B)??a?2 (C)a?2 (D)?举一反三：1、把二次根式a?A. ?a
B. ??a
1化简，正确的结果是（ ） a
C. ?a
D. a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】 1、最简二次根式：
最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A．7
【例11】 举一反三：
1、下列根式不是最简二次根式的是( )
2A.a?1 B.2x?1 C.
B．3
C．
1 2D．2
2b D.0.1y 42、在根式1) a?b;2)22x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
3、把下列各式化为最简二次根式：
(1)12 (2)45ab
【例12】下列根式中能与3是合并的是( )
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A.8 B. 27 C.25 D. 举一反三：
1 21、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、3和18 B、3和122 C、ab和ab D、a?1和a?1 323；③
2、在二次根式：①12；② 是 。
【知识要点】 1．分母有理化
2；④327中，能与3合并的二次根式
知识点四：二次根式计算——分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与a?b等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?b与a?b，
a?b与a?b，
ax?by与ax?by分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】
【例13】 把下列各式分母有理化 （1）
【例14】把下列各式分母有理化：
（1）13111?43 （2） （3） （4）? 550212483725?333 （2） （3）2?15?332?23整理为word格式
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