随机事件的概率
考纲解读 1.求随机事件发生的概率与频率;2.用互斥事件和对立事件求复杂事件的概率.
[基础梳理]
1.事件的相关概念
(1)必然事件:在一定条件下,一定发生的事件; (2)不可能事件:在一定条件下,一定不发生的事件; (3)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 2.频率和概率
(1)频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次nA
试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A
n出现的频率.
(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.
3.事件的关系与运算 名称 包含关系 相等关系 并(和)事件 条件 A发生?B发生 若B?A且A?B A发生或B发生 结论 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) 事件A与事件B相等 事件A与事件B的并事件(或和事件) 事件A与事件B的交事件(或积事件) 事件A与事件B互斥 事件A与事件B互为对立事件 符号表示 B?A(或A?B) A=B A∪B(或A+B) 交(积)事件 互斥事件 对立事件 A发生且B发生 A∩B为不可能事件 A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件 A∩B(或AB) A∩B=? A∩B=?, P(A∪B)=1 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.
(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)
=1,P(A)=1-P(B).
[三基自测]
1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶 答案:D
2.袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为________.
答案:②
3.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为________;中10环的概率约为________.
答案:0.9 0.2
4.(必修3·3.1练习改编)一个袋子中有红球5个,黑球4个,现从中任取5个球,则至少有1个红球的概率为________.
答案:1
5.(2017·高考全国卷Ⅱ改编)从分别写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽取1张,恰是1或2的概率为________.
2
答案: 5
考点一 随机事件的关系|易错突破
[例1] (1)(2018·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( )
A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件
(2)装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
“①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球”.
B.两次都中靶 D.两次都不中靶
A.①② C.②③
B.①③ D.①②③
[解析] (1)根据互斥事件与对立事件的意义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥也不对立;B∩C=?,B∪C=Ω,故事件B,C是对立事件.
(2)从口袋内一次取出2个球,这个试验的基本事件空间Ω={(白,白),(红,红),(黑,黑),(红,白),(红,黑),(黑,白)},包含6个基本事件,当事件A“两球都为白球”发生时,①②不可能发生,且A不发生时,①不一定发生,②不一定发生,故非对立事件,而A发生时,③可以发生,故不是互斥事件.
[答案] (1)D (2)A [易错提醒]
准确把握互斥事件与对立事件 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生. (2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生. [纠错训练]
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明理由.
(1)恰有1名男生和恰有两名男生; (2)至少有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是男生; (4)至少有1名男生和全是女生.
解析:(1)是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.
(2)不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了.
(3)不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.
(4)是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.
考点二 随机事件的频率与概率|思维突破
[例2] (1)从存放的号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 取到次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A.0.53 C.0.47
B.0.5 D.0.37
(2)某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩,指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数,试题满分120分),并且绘制了条形统计图(如图所示),则该中学参加本次数学竞赛的人数为________,如果90分以上(含90分)获奖,那么获奖的概率大约是________.
[解析] (1)取到号码为奇数的卡片的次数为:13+5+6+18+11=53,则所求的频率为53
=0.53.故选A. 100
(2)由题图可知,参加本次竞赛的人数为4+6+8+7+5+2=32;90分以上的人数为714
+5+2=14,所以获奖的频率为=0.437 5,即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.
32
[答案] (1)A (2)32 0.437 5 [思维升华]
1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数. (2)由频率与概率的关系得所求. 2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数,进而利用频率与概率的关系得所求. [跟踪训练]
1.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,估计该生的身高在155.5 cm~170.5 cm之间的概率约为( )
2A. 52C. 3
1B. 21D. 3
解析:从已知数据可以看出,在随机抽取的这20名学生中,身高在155.5 cm~170.5 cm2
之间的学生有8人,频率为,故可估计在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,其身52
高在155.5 cm~170.5 cm之间的概率约为.
5
答案:A
2.同时掷两颗骰子一次,
①“点数之和是13”是什么事件?其概率是多少?
②“点数之和在2~13之间”是什么事件?其概率是多少? ③“点数之和是7”是什么事件?其概率是多少?
解析:①由于点数最大是6,和最大是12,不可能得13,故此事件是不可能事件,其概率为0.
②由于点数之和最小是2,最大是12,在2~13之间,它是必然事件,其概率为1. ③由②知,点数之和是7是有可能的,此事件是随机事件.事件“点数之和是7”包含6
的基本事件有{1,6},{2,5},{3,4},{4,3},{5,2},{6,1}共6个,因此该事件的概率P=
6×61=. 6考点三 互斥事件、对立事件的概率|方法突破
[例3] 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C.求:
(1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 1
[解析] (1)P(A)=,
1 000P(B)=
101
=, 1 000100
高中数学随机事件的概率考点及例题讲解
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)