随机事件的概率
考纲解读 1.求随机事件发生的概率与频率；2.用互斥事件和对立事件求复杂事件的概率．
[基础梳理]
1．事件的相关概念
(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件； (3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次nA
试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A
n出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算 名称 包含关系 相等关系 并(和)事件 条件 A发生?B发生 若B?A且A?B A发生或B发生 结论 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) 事件A与事件B相等 事件A与事件B的并事件(或和事件) 事件A与事件B的交事件(或积事件) 事件A与事件B互斥 事件A与事件B互为对立事件 符号表示 B?A(或A?B) A＝B A∪B(或A＋B) 交(积)事件 互斥事件 对立事件 A发生且B发生 A∩B为不可能事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 A∩B(或AB) A∩B＝? A∩B＝?， P(A∪B)＝1 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)
＝1，P(A)＝1－P(B)．
[三基自测]
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A．至多有一次中靶 C．只有一次中靶 答案：D
2．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．
答案：②
3．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．
答案：0.9 0.2
4．(必修3·3.1练习改编)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．
答案：1
5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)从分别写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽取1张，恰是1或2的概率为________．
2
答案： 5
考点一 随机事件的关系|易错突破
[例1] (1)(2018·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
(2)装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．
B．两次都中靶 D．两次都不中靶
A．①② C．②③
B．①③ D．①②③
[解析] (1)根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．
(2)从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．
[答案] (1)D (2)A [易错提醒]
准确把握互斥事件与对立事件 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生． [纠错训练]
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由．
(1)恰有1名男生和恰有两名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生； (4)至少有1名男生和全是女生．
解析：(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了．
(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．
考点二 随机事件的频率与概率|思维突破
[例2] (1)从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 取到次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A．0.53 C．0.47
B．0.5 D．0.37
(2)某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．
[解析] (1)取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53
＝0.53.故选A. 100
(2)由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为714
＋5＋2＝14，所以获奖的频率为＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.
32
[答案] (1)A (2)32 0.437 5 [思维升华]
1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数． (2)由频率与概率的关系得所求． 2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求． [跟踪训练]
1．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人，估计该生的身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率约为( )
2A. 52C. 3
1B. 21D. 3
解析：从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5 cm～170.5 cm2
之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人，其身52
高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率约为.
5
答案：A
2．同时掷两颗骰子一次，
①“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？
②“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？ ③“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？
解析：①由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，故此事件是不可能事件，其概率为0.
②由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13之间，它是必然事件，其概率为1. ③由②知，点数之和是7是有可能的，此事件是随机事件．事件“点数之和是7”包含6
的基本事件有{1,6}，{2,5}，{3,4}，{4,3}，{5,2}，{6,1}共6个，因此该事件的概率P＝
6×61＝. 6考点三 互斥事件、对立事件的概率|方法突破
[例3] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 1
[解析] (1)P(A)＝，
1 000P(B)＝
101
＝， 1 000100
高中数学随机事件的概率考点及例题讲解
