新高考数学一轮复习第2讲导数在研究函数中的应用2第2课时导数与函数的极值最值教学案

设g(a)＝

a＋a2＋8

4

(a≥－1)，

当a≥0时，g(a)为增函数， 当－1≤a≤0时，g(a)＝1

所以x0≥g(－1)＝，

2

所以函数y＝－x＋1－ln x在(0，＋∞)上为减函数， 3

所以f(x)极小值H的最大值为＋ln 2.

4

4．(2024·温州中学高三模考)已知函数f(x)＝ln(2ax＋1)＋－x－2ax(a∈R)．

3(1)若x＝2为f(x)的极值点，求实数a的值；

(2)若y＝f(x)在[3，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；

1（1－x）b(3)当a＝－时，方程f(1－x)＝＋有实根，求实数b的最大值．

23x2a2

解：(1)f′(x)＝＋x－2x－2a

2ax＋1

3

2

2

a2＋8－a，此时g(a)为增函数，

x3

2

x[2ax2＋（1－4a）x－（4a2＋2）]＝，

2ax＋1

因为x＝2为f(x)的极值点，所以f′(2)＝0， 即

2a－2a＝0，解得a＝0. 4a＋1

(2)因为函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，

x[2ax2＋（1－4a）x－（4a2＋2）]

所以f′(x)＝≥0在[3，＋∞)上恒成立．

2ax＋1

①当a＝0时，f′(x)＝x(x－2)>0在[3，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[3，＋∞)上为增函数，故a＝0符合题意．

②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax＋1>0对x≥3恒成立，故只能a>0，所以2ax＋(1－4a)x－(4a＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立．

1122

令函数g(x)＝2ax＋(1－4a)x－(4a＋2)，其对称轴为x＝1－，因为a>0，所以1－

4a4a<1，要使g(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，即g(3)＝－4a＋6a＋1≥0，3－133＋13

所以≤a≤.

44

3＋13因为a>0，所以0

4

2

2

2

16

?3＋13?

综上所述，a的取值范围为?0，?.

4??

1（1－x）bb2

(3)当a＝－时，方程f(1－x)＝＋可化为ln x－(1－x)＋(1－x)＝.

23xx问题转化为b＝xln x－x(1－x)＋x(1－x)＝xln x＋x－x在(0，＋∞)上有解，即求函数g(x)＝xln x＋x－x的值域．

因为函数g(x)＝xln x＋x－x，令函数h(x)＝ln x＋x－x(x>0)， 1（2x＋1）（1－x）

则h′(x)＝＋1－2x＝，

2

3

2

2

3

2

2

3

3

xx所以当00，从而函数h(x)在(0，1)上为增函数， 当x>1时，h′(x)<0，从而函数h(x)在(1，＋∞)上为减函数， 因此h(x)≤h(1)＝0.

而x>0，所以b＝x·h(x)≤0，因此当x＝1时，b取得最大值0.

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