第2课时 导数与函数的极值、最值
1．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ [教材衍化]
2
1．(选修2－2P28例4改编)设函数f(x)＝＋ln x，则( )
x1
A．x＝为f(x)的极大值点
21
B．x＝为f(x)的极小值点
2C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
21x－2
解析：选D.f′(x)＝－2＋＝2(x>0)，
xxx 1
当0
?π?2．(选修2－2P30例5改编)函数y＝x＋2cos x在区间?0，?上的最大值是________．
2??
解析：因为y′＝1－2sin x，
?π?所以当x∈?0，?时，y′>0；
6??
当x∈?
?π，π?时，y′<0. ??62?
ππ
所以当x＝时，ymax＝＋3.
66π
答案：＋3
6[易错纠偏]
(1)原函数与导函数的关系不清致误； (2)极值点存在的条件不清致误．
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点
解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．
2．设a∈R，若函数y＝e＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 解析：因为y＝e＋ax，所以y′＝e＋a. 因为函数y＝e＋ax有大于零的极值点， 所以方程y′＝e＋a＝0有大于零的解， 因为当x>0时，－e<－1，所以a＝－e<－1. 答案：(－∞，－1)
用导数解决函数的极值问题(高频考点)
xxxxxxx 2
用导数解决函数的极值问题是每年高考的亮点，既有选择题，填空题，也有解答题，难度偏大．主要命题角度有：
(1)根据图象判断函数的极值； (2)求函数的极值； (3)已知函数的极值求参数． 角度一 根据图象判断函数的极值
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如
图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】 由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－2 x<3，此时f′(x)<0；当1 时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 【答案】 D 角度二 求函数的极值 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． 1 (1)当a＝时，求f(x)的极值； 2 (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 1111 【解】 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝22x22－x， 2x令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 x f′(x) f(x) (0，2) ＋ 2 0 ln 2－1 (2，＋∞) － 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值． 3 11－ax(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)， xx当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点； ?1?当a>0时，当x∈?0，?时，f′(x)>0， ? a? 1?1?当x∈?，＋∞?时，f′(x)<0，故函数f(x)在x＝处有极大值． ?a? a1综上所述，当a≤0时，函数f(x)在定义域上无极值点，当a>0时，函数f(x)在x＝处 a有一个极大值点． 角度三 已知函数的极值求参数 (1)已知f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1时有极值0，则a－b＝________． 12 (2)若函数f(x)＝－x＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是 322________． 【解析】 (1)由题意得f′(x)＝3x＋6ax＋b，则 ???a＋3a－b－1＝0，?a＝1，??a＝2， ??解得或? ?b－6a＋3＝0，?b＝3?b＝9，??? 2 2 3 2 2 x3a经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. 1 (2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值， 2 1122 则当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax22＋1≤0恒成立． 1110 当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)； 2x312 当x∈(，3)时， f′(x)＝x－ax＋1≥0， 21 即a≤x＋恒成立，a≤2； x12 当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax＋1≤0， 2110 即a≥x＋恒成立，a≥. x3 1 因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点， 2 4 则实数a的取值范围是(2， 10)． 310) 3 【答案】 (1)－7 (2)(2， (1)利用导数研究函数极值问题的一般流程 (2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． [提醒] 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 1．设函数f(x)＝ax－2x＋x＋c(a≥0)． (1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3ax－4x＋1. (1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1. 12 当a＝1时，f′(x)＝3x－4x＋1，令f′(x)>0，解得x<，或x>1；令f′(x)<0，解 31?1??1?得 (2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即 3 2 2 3 2 f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立． ①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件； ②当a>0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)－4×3a×1≤0，4 即16－12a≤0，解得a≥. 3 5 2
新高考数学一轮复习第2讲导数在研究函数中的应用2第2课时导数与函数的极值最值教学案
