（A）a??,b//?,??? （B）a??,b??,?//? （C）a??,b??,?//? （D）a??,b//?,??? 解析：选C，A、B、D的反例如图． （6）把函数y?sinx（x?R）的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的?个单位长度，再把所得图31倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 2?x?（A）y?sin(2x?)，x?R （B）y?sin(?)，x?R 326?2?（C）y?sin(2x?)，x?R （D）y?sin(2x?)，x?R 33解析：选C, 向左平移个单位3?y?sinx???????y?sin(x?)????????y?sin(2x?)． 33?1横坐标缩短到原来的倍2?x2y22（7）设椭圆2?2?1（m?0，n?0）的右焦点与抛物线y?8x的焦点相同，离心mn率为1，则此椭圆的方程为 2x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 （A）4864644812161612解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由e?（8）已知函数f(x)??1排除D，选B． 2?x?2,??x?2,x?0x?0，则不等式f(x)?x的解集是 2（A）[?1,1] （B）[?2,2] （C）[?2,1] （D）[?1,2] 解析：依题意得?（9）设a?sin?x?0?x?0或??1?x?0或0?x?1??1?x?1，选A． ?22?x?2?x??x?2?x5?2?2?，b?cos，c?tan，则 777 （A）a?b?c （B）a?c?b （C）b?c?a （D）b?a?c 2??2??2?2?2??，?sin?1?tan解析：a?sin，因为?所以0?cos，选D． 7472777（10）设a?1，若对于任意的x?[a,2a]，都有y?[a,a]满足方程logax?logay?3，2第 6 页 共 12 页 这时a的取值集合为 （A）{a|1?a?2} （B）{a|a?2} （C）{a|2?a?3} （D）{2,3} ?a2aa??a解析：易得y?，在[a ,2]a上单调递减，所以y?[,a2]，故?2?a?2，选B．x2?a?1?32（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人． 解析：依题意知抽取超过45岁的职工为25?80?10． 200（12）(x?)的二项展开式中，x的系数是________________（用数字作答）． 解析：Tr?1?C5xr5?r2x532?()r?2rC5rx5?2r，r?1，所以系数为10． x（13）若一个球的体积为43?，则它的表面积为________________． 解析：由4?3R?43?得R?3，所以S?4?R2?12?． 3（14）已知平面向量a?(2,4)，b?(?1,2)．若c?a?(a?b)b，则|c|?_____________． 解析：因为c?(2,4)?6(?1,2)?(8,?8)，所以|c|?82． （15）已知圆C的圆心与点P(?2,1)关于直线y?x?1对称．直线3x?4y?11?0与圆C相交于A,B两点，且AB?6，则圆C的方程为_______________________． (?4?11)222?18，解析：圆心的坐标为(0,?1)，所以r?3?圆的方程为x?(y?1)?18． 2522（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）． 解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2． 4444所以共有2A4?2A4?18A4?432种不同排法． 三、解答题 17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数y?Asin(?x??)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． 第 7 页 共 12 页 1?cos2?x?sin2?x?1 2 ?sin2?x?cos2?x?2 （Ⅰ）解：f(x)?2 ?????2?sin2?xcos?cos2?xsin??2 44?????2sin?2?x???2． 4?? ?由题设，函数f(x)的最小正周期是（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f(x)?2???，可得?，所以??2． 2?22???2sin?4x???2． 4??当4x??????k????2k?，即x??(k?Z)时，sin?4x??取得最大值1，所以函数4?42162??k???f(x)的最大值是2?2，此时x的集合为?xx??，k?Z?． 162??18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，由题意得 (1?P(B))2?(1?p)2?解得p?1， 16353或p?（舍去），所以乙投球的命中率为． 444解法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，由题意得 1P(B)P(B)?， 16113于是P(B)?或P(B)??（舍去），故p?1?P(B)?． 4443所以乙投球的命中率为． 411（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，P(A)?，P(A)?． 223故甲投球2次至少命中1次的概率为1?P(AA)?． 411解法二：由题设和（Ⅰ）知，P(A)?，P(A)?． 2231故甲投球2次至少命中1次的概率为C2P(A)P(A)?P(A)P(A)?． 41131（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，P(A)?，P(A)?，P(B)?，P(B)?． 2244第 8 页 共 12 页 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为 1C1P(A)P(A)C22P(B)P(B)?3， 161， 649P(AA)P(BB)?． 64P(AA)P(BB)?所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为 31911． ???1664643219．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． 222PD?22，（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA?2，AD?2，可得PA?AD?PD，于是AD?PA．在矩形ABCD中，AD?AB，又PAAB? A，所以AD?平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角． 在△PAB中，由余弦定理得 PB?PA2?AB2?2PAABcosPAB?7． 由（Ⅰ）知AD?平面PAB，PB?平面PAB， 所以AD?PB，因而BC?PB，于是△PBC是直角三角形， P A H B E C D PB7?故tanPCB?． BC2所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan7． 2（Ⅲ）解：过点P作PH?AB于H，过点H作HE?BD于E，连结PE． 因为AD?平面PAB，PH?平面PAB，所以AD?PH．又A因而PH?DABA?，平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD?PE．从而∠PEH是二面角P?BD?A的平面角． 由题设可得， PH?PAsin60?3，AH?PAcos60?1， BH?AB?AH?2，BD?AB2?AD2?13， HE?AD4BH?． BD13PH39?． HE4于是在Rt△PHE中，tanPEH?第 9 页 共 12 页 所以二面角P?BD?A的大小为arctan39． 420．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设an?1?(1?q)an?qan?1(n≥2)，得 an?1?an?q(an?an?1)， 即 bn?qbn?1，n≥2． 又b1?a2?a1?1，q?0，所以?bn?是首项为1，公比为q的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）， a2?a1?1， a3?a2?q， …… an?an?1?qn?2(n≥2)． n?2将以上各式相加，得an?a1?1?q?…?q(n≥2)．所以当n≥2时， ?1?qn?1，q?1，?1?an?? 1?q?n，? q?1.上式对n?1显然成立． （Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q?1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q?1． 由a3?a6?a9?a3可得q?q?q?q，由q?0得 5228q3?1?1?q6， ① 33整理得(q)?q?2?0，解得q??2或q?1（舍去）．于是 3323q??2． 另一方面， an?an?3qn?2?qn?1qn?13??(q?1)， 1?q1?q第 10 页 共 12 页
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津 文）含详解
