2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津 文）含详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么 ·球的表面积公式S?4πR 球的体积公式V?2P(A?B)?P(A)?P(B) 43πR 3·如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)?P(A)P(B) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合U?x?N0?x≤8，S??1，2，4，5?，T??3，5，7?，则SA．?1，2，4? B．?1，2，3，4，5，7? C．?1，2? ???eT??（ ） UD．?1，2，4，5，6，8? ?x?y≥0，?2．设变量x，y满足约束条件?x?y≤1，则目标函数z?5x?y的最大值为（ ） ?x?2y≥1.?A．2 B．3 C．4 D．5 3．函数y?1?2x(0≤x≤4)的反函数是（ ） B．y?(x?1)(0≤x≤4) D．y?x?1(0≤x≤4) 22A．y?(x?1)(1≤x≤3) C．y?x?1(1≤x≤3) 24．若等差数列?an?的前5项和S5?25，且a2?3，则a7?（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．设a，b是两条直线，?，?是两个平面，则a?b的一个充分条件是（ ） 第 1 页 共 12 页 A．a??，b∥?，??? C．a??，b??，?∥? B．a??，b??，?∥? D．a??，b∥?，??? 6．把函数y?sinx(x?R)的图象上所有的点向左平行移动上所有点的横坐标缩短到原来的?个单位长度，再把所得图象31倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） 2B．y?sin?A．y?sin?2x??????，x?R 3????，x?R 3??x????，x?R ?26???????，x?R 3?C．y?sin?2x???D．y?sin?2x?x2y2127．设椭圆2?2?1(m?0，n?0)的右焦点与抛物线y?8x的焦点相同，离心率为，mn2则此椭圆的方程为（ ） x2y2??1 A．12168．已知函数f(x)??A．??11，? 9．设a?sin x2y2??1 B．1612x2y2??1 C．4864x2y2??1 D．6448?x?2，x≤0，2则不等式f(x)≥x的解集为（ ） ??x?2，x?0，C．??21，? D．??1，2? B．??2，2? 5?2?2?，b?cos，c?tan，则（ ） 777A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a D．b?a?c 2?10．设a?1，若对于任意的x??a，a，a2a?，都有y????满足方程logax?logay?3，这时a的取值的集合为（ ） A．a1?a≤2 ?? B．aa≥2 ?? C．a2≤a≤3 ?? D．?2，3? 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分． 第 2 页 共 12 页 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人． 2??312．?x??的二项展开式中x的系数为 （用数字作答）． x??13．若一个球的体积为43?，则它的表面积为 ． 14．已知平面向量a?(2，4)，b?(?1，2)，若c?a?(ab)b，则c? ． 15．已知圆C的圆心与点P(?2，1)关于直线y?x?1对称．直线3x?4y?11?0与圆C相交于A，B两点，且AB?6，则圆C的方程为 ． 16．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2cos?x?2sin?xcos?x?1(x?R，?>0)的最小正周期是（Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 18．（本小题满分12分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为均未命中的概率为25?． 21与p，且乙投球2次21． 16（Ⅰ）求乙投球的命中率p； （Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率； （Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB?3，AD?2，PA?2，PD?22，∠PAB?60． （Ⅰ）证明AD?平面PAB； （Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P?BD?A的大小． P A B C D 第 3 页 共 12 页 20．（本小题满分12分） 已知数列?an?中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1(n≥2，q?0)． *（Ⅰ）设bn?an?1?an(n?N)，证明?bn?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n?N，an是an?3与an?6的等差中项． 21．（本小题满分14分） 设函数f(x)?x?ax?2x?b(x?R)，其中a，b?R． （Ⅰ）当a??432*10时，讨论函数f(x)的单调性； 3（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的a???2，2?，不等式f(x)≤1在??11，?上恒成立，求b的取值范围． 22．（本小题满分14分） 0)，一条渐近线的方程是5x?2y?0． 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(?3，（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以k(k?0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81，求k的取值范围． 2第 4 页 共 12 页 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．10 210．B 12．10 213．12? 16．432 14．82 15．x?(y?1)?18 （1）设集合U?{x?N|0?x?8}，S?{1,2,4,5}，T?{3,5,7}，则S(eUT)? （A）{1,2,4} （B）{1,2,3,4,5,7} （C）{1,2} （D）{1,2,4,5,6,8} T1,2,4,6,8}，所以S解析：因为eU?{(eUT)?{1,2,4}，选A． ?x?y?0?（2）设变量x,y满足约束条件?x?y?1，则目标函数z?5x?y的最大值为 ?x?2y?1? （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 解析：如图，由图象可知目标函数z?5x?y点A(1,0)时z取得最大值，zmax?5，选D． （3）函数y?1?过x（0?x?4）的反函数是 22 （A）y?(x?1)（1?x?3） （B）y?(x?1)（0?x?4） （C）y?x?1（1?x?3） （D）y?x?1（0?x?4） 解析：当0?x?4时，1?22x?[1,3]，解y?1?x得f?1(x)?(x?1)2，选A． （4）若等差数列{an}的前5项和S5?25，且a2?3，则a7? （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 解析：S5?选B． （5）设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是 5(a1?a5)5(a2?a4)a?a??a4?7，所以a7?a2?5d?a2?5?42?13，222第 5 页 共 12 页