1、行列式
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mjij?(?1)i?AijAij?(?1)i?jMij
4. 设n行列式D：
n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)2D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?，所得行列式为D2，则D2?(?1)2D；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；
将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2；
⑤、拉普拉斯展开式：
AO?AC?AB、CA?OA?(?1)m?nCBOBBOBCAB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
n6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??n??(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）；
?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关；
?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；
1
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?A1?若A?????A2???，则： ???As?Ⅰ、A?A1A2?As； ?A1?1??1Ⅱ、A???????1?1A2???； ???As?1??O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A?1?AO?②、?????OB??O?O?OA?③、????1??BO??A?1?A?1?AC?④、????OB???O?1?1?A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1CB????BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r?O对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(A,B)???(E,A?1B)；
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?A?1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
r?1?EO??； O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
rc2
??1?②、???????2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；
ii????n??1?1??1??????1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：?1???；
??1?1??????1?1?1??1???1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k????k??1?????11k???(k?0)； ?1??k??k??1?1?????1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???(k?0)；
??1?1?????5. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1ac???②、型如?01b?的矩阵：利用二项展开式；
?001???
二项展开式：(a?b)?Ca?Cab???Ca注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
n(n?1)??(n?m?1)n!?1?2?3???mm!(n?m)!mnn?mnn0nn1nn?11mnn?mb???Cmn?11n?1nabmmn?m?Cb??Cnab； nnnm?0nⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1
Ⅲ、组合的性质：C?CCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1； rCn?nCn?1③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?13
②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；
n?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b????2nn2①、?211222；
??????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn?a11?a②、?21????am1a12a22?am2?a1n??x1??b1???????a2n??x2??b2???Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）
???????????????amn??xm??bm?③、?a1a2?x1??b1?????xb2?an?????（全部按列分块，其中???2?）；
??????????x?n??bn?④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)； ??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2?；
??????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4. 5.
r(ATA)?r(A)；(P101例15)
n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；
②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；
4
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；
若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s(二版P74定理7)；
向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示
?AX?B有解；
?r(A)?r(A,B)（P85定理2）
向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推论） ①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解
②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 对于矩阵Am?n与Bl?n：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 若Am?sBs?n?Cm?n，则：
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）
齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；
②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；
设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：（P110题19结论）
(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K（B?AK）
cr
8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；
9.
10.
11.
12.
其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）
注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,?,?s线性相关
?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）
?x1???x?(?1,?2,?,?s)?2??0有非零解，即Ax?0有非零解；
??????xs??r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；
16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关；（P111题
33结论）
5
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTia?1i?jj???0i?j(i,j?1,2,?n)； ②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)
b1?a1；
b[b1,a2]2?a2?[b]?b1 1,b1 ???
b[b1,ar][b,ar?ar?[b?br][b?b[b,a]1?22???r?1r,b?br?1; 1,b1]2,b2][br?1r?1]3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；
②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；
?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：
?A的正惯性指数为n；
?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数； ?A的各阶顺序主子式均大于0；
?aii?0,A?0；(必要条件) 6
线性代数公式必记
