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线性代数公式必记

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1、行列式

1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式; 2. 代数余子式的性质:

①、Aij和aij的大小无关;

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A; 3. 代数余子式和余子式的关系:Mjij?(?1)i?AijAij?(?1)i?jMij

4. 设n行列式D:

n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1?(?1)2D; n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?,所得行列式为D2,则D2?(?1)2D;

将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3?D;

将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4?D; 5. 行列式的重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素的乘积;

n(n?1)②、副对角行列式:副对角元素的乘积??(?1)2;

③、上、下三角行列式(?◥???◣?):主对角元素的乘积; n(n?1)④、?◤?和?◢?:副对角元素的乘积??(?1)2;

⑤、拉普拉斯展开式:

AO?AC?AB、CA?OA?(?1)m?nCBOBBOBCAB ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;

n6. 对于n阶行列式A,恒有:?E?A??n??(?1)kSk?n?k,其中Sk为k阶主子式;k?17. 证明A?0的方法:

①、A??A; ②、反证法;

③、构造齐次方程组Ax?0,证明其有非零解; ④、利用秩,证明r(A)?n; ⑤、证明0是其特征值;

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵:

?A?0(是非奇异矩阵);

?r(A)?n(是满秩矩阵) ?A的行(列)向量组线性无关;

?齐次方程组Ax?0有非零解; ??b?Rn,Ax?b总有唯一解; ?A与E等价;

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A的特征值全不为0; ?ATA是正定矩阵;

1

?A的行(列)向量组是Rn的一组基; ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵;

2. 对于n阶矩阵A:AA*?A*A?AE 无条件恒成立; 3.

(A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1

4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:

?A1?若A?????A2???,则: ???As?Ⅰ、A?A1A2?As; ?A1?1??1Ⅱ、A???????1?1A2???; ???As?1??O??;(主对角分块) B?1?B?1??;(副对角分块) O??A?1?AO?②、?????OB??O?O?OA?③、????1??BO??A?1?A?1?AC?④、????OB???O?1?1?A?1CB?1??;(拉普拉斯) B?1?O??;(拉普拉斯) B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1CB????BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m?n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F??r?O对于同型矩阵A、B,若r(A)?r(B)?????A?B; 2. 行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得;

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

①、 若(A?,?E)???(E?,?X),则A可逆,且X?A?1;

②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AB,即:(A,B)???(E,A?1B);

③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax?b,如果(A,b)?(E,x),则A可逆,且x?A?1b; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

r?1?EO??; O?m?n等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;

rc2

??1?②、???????2???,左乘矩阵A,?乘A的各行元素;右乘,?乘A的各列元素;

ii????n??1?1??1??????1③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)?1?E(i,j),例如:?1???;

??1?1??????1?1?1??1???1④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))?E(i()),例如:?k????k??1?????11k???(k?0); ?1??k??k??1?1?????1⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k)),如:?1???(k?0);

??1?1?????5. 矩阵秩的基本性质:

①、0?r(Am?n)?min(m,n);

②、r(AT)?r(A);

③、若A?B,则r(A)?r(B);

④、若P、Q可逆,则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B);(※) ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B);(※) ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B));(※)

⑧、如果A是m?n矩阵,B是n?s矩阵,且AB?0,则:(※)

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解(转置运算后的结论); Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)?r(A)?r(B)?n;

6. 三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;

?1ac???②、型如?01b?的矩阵:利用二项展开式;

?001???

二项展开式:(a?b)?Ca?Cab???Ca注:Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项;

n(n?1)??(n?m?1)n!?1?2?3???mm!(n?m)!mnn?mnn0nn1nn?11mnn?mb???Cmn?11n?1nabmmn?m?Cb??Cnab; nnnm?0nⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1

Ⅲ、组合的性质:C?CCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1; rCn?nCn?1③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:

?n?①、伴随矩阵的秩:r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1; r(A)?n?13

②、伴随矩阵的特征值:③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X);

n?1

8. 关于A矩阵秩的描述:

①、r(A)?n,A中有n阶子式不为0,n?1阶子式全部为0;(两句话)

②、r(A)?n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)?n,A中有n阶子式不为0;

9. 线性方程组:Ax?b,其中A为m?n矩阵,则:

①、m与方程的个数相同,即方程组Ax?b有m个方程;

②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax?b为n元方程; 10. 线性方程组Ax?b的求解:

①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b????2nn2①、?211222;

??????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn?a11?a②、?21????am1a12a22?am2?a1n??x1??b1???????a2n??x2??b2???Ax?b(向量方程,A为m?n矩阵,m个方程,n个未知数)

???????????????amn??xm??bm?③、?a1a2?x1??b1?????xb2?an?????(全部按列分块,其中???2?);

??????????x?n??bn?④、a1x1?a2x2???anxn??(线性表出)

⑤、有解的充要条件:r(A)?r(A,?)?n(n为未知数的个数或维数)

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A:?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m); ??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B:?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2?;

??????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解;(齐次线性方程组)

②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解;(矩阵方程)

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax?0和Bx?0同解;(P101例14) 4. 5.

r(ATA)?r(A);(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义: ①、?线性相关 ???0;

②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线(平行);

4

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面;

6. 线性相关与无关的两套定理:

若?1,?2,?,?s线性相关,则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关;

若?1,?2,?,?s线性无关,则?1,?2,?,?s?1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量,构成n维向量组B:

若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r?s(二版P74定理7);

向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)?r(B);(P86定理3) 向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解;

?r(A)?r(A,B)(P85定理2)

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)(P85定理2推论) ①、矩阵行等价:A~B?PA?B(左乘,P可逆)?Ax?0与Bx?0同解

②、矩阵列等价:A~B?AQ?B(右乘,Q可逆); ③、矩阵等价:A~B?PAQ?B(P、Q可逆); 对于矩阵Am?n与Bl?n:

①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;

②、若A与B行等价,则Ax?0与Bx?0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A的行秩等于列秩; 若Am?sBs?n?Cm?n,则:

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)

齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解;

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解;

设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为:(P110题19结论)

(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K(B?AK)

cr

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl,使A?P1P2?Pl;

9.

10.

11.

12.

其中K为s?r,且A线性无关,则B组线性无关?r(K)?r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r;充分性:反证法)

注:当r?s时,K为方阵,可当作定理使用;

13. ①、对矩阵Am?n,存在Qn?m,AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关;(P87) ②、对矩阵Am?n,存在Pn?m,PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关; 14. ?1,?2,?,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立;(定义)

?x1???x?(?1,?2,?,?s)?2??0有非零解,即Ax?0有非零解;

??????xs??r(?1,?2,?,?s)?s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15. 设m?n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为:r(S)?n?r;

16. 若?*为Ax?b的一个解,?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系,则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关;(P111题

33结论)

5

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT(定义),性质:

①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aTia?1i?jj???0i?j(i,j?1,2,?n); ②、若A为正交矩阵,则A?1?AT也为正交阵,且A??1; ③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:(a1,a2,?,ar)

b1?a1;

b[b1,a2]2?a2?[b]?b1 1,b1 ???

b[b1,ar][b,ar?ar?[b?br][b?b[b,a]1?22???r?1r,b?br?1; 1,b1]2,b2][br?1r?1]3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B;

?PAQ?B,P、Q可逆; ?r(A)?r(B),A、B同型;

②、A与B合同 ?CTAC?B,其中可逆;

?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数; ③、A与B相似 ?P?1AP?B; 5. 相似一定合同、合同未必相似;

若C为正交矩阵,则CTAC?B?A?B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6. A为对称阵,则A为二次型矩阵; 7. n元二次型xTAx为正定:

?A的正惯性指数为n;

?A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTAC?E; ?A的所有特征值均为正数; ?A的各阶顺序主子式均大于0;

?aii?0,A?0;(必要条件) 6

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