第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
[最新考纲] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
必备知识填充
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [常用结论] 1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.
p?q且qpq且q?p p?q pq且qp p 2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条 件．其他情况依次类推．
3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件?AB；p是q的必要不充分条件?AB；p是q的充要条件?A＝B.
自我检测
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
1．下列命题是真命题的是( ) A．矩形的对角线相等 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x＞0, 则x＞1”的逆否命题
A [令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x＞0，但x＜1，故D错误．]
2．命题“若x＞y，则x＞y”的逆否命题是( ) A．“若x＜y，则x＜y” C．“若x≤y，则x≤y”
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．“若x＞y，则x＞y” D．“若x≥y，则x≥y”
22
2
22
C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x＞
y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.]
3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]
π3
4．命题“若α＝，则sin α＝”的逆命题为________命题，否命题为________
32命题．(填“真”或“假”)
π33π
假 假 [若α＝，则sin α＝的逆命题为“若sin α＝，则α＝”是假
3223π3
命题；否命题为“若α≠，则sin α≠”是假命题．]
32
课堂考点探究
考点1 命题及其关系
判断命题真假的2种方法
(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命
题，只需举出一个反例即可．
(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
1.下列命题是真命题的是( )
11
A．若＝，则x＝y
xyB．若x＝1，则x＝1 D．若x＜y，则x＜y
2
2
2
C．若x＝y，则x＝y [答案] A
2．下列命题中的真命题是( )
①“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m＞0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题； ④“若x＝3，则x是无理数”的逆否命题． A．①②③④ C．②③④
2
22
22
B．①③④ D．①④
2
2
B [①“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题为“若x＋y＝0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m＞0，则x＋x－m＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x＝3，则x是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.]
3．已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的有________．(填序号)
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
①③ [本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．]
4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________． 若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0 [m∈R是大前提，故该命题的逆否命题为“若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0.”]
四种命题的3个处理技巧
(1)要分清原命题的条件与结论．当原命题有大前提时，它的其他三种命题要保持大前提不变，只需改变小前提和结论．如T4.
2
2
2
2
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
(3)判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例． 考点2 充分、必要条件的判定
充分条件和必要条件的3种判断方法
(1)定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p是什么，结论q是什么； ②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p； ③确定条件p和结论q的关系．
(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条 件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．
(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x－5x＜0”是“|x－1|＜1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
→→→→
(3)(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|→
＞|BC|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)A (2)B (3)C [(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.
(2)由x－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0
2
2
＜x＜2}，显然B2
A，
∴“x－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.
→→→→→→→→2→2→→→2→2→→(3)|AB＋AC|＞|BC|?|AB＋AC|＞|AC－AB|?AB＋AC＋2AB·AC＞AB＋AC－2AB·AC?→→→→→→→→?π?AB·AC＞0，由点A，B，C不共线，得〈AB，AC〉∈?0，?，故AB·AC＞0?AB，AC的夹角
2??为锐角．故选C.]
[逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
1
A．m＞
4C．m＞0
B．0＜m＜1 D．m＞1
2
122
C [若不等式x－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)－4m＜0，解得m＞，因此当
4不等式x－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]
判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B [x－5x－6＝0?x＝－1或x＝6，
∵x＝－1?x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1， ∴“x＝－1”是“x－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.] 2．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈
2
22
q的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
q，其等价于p?綈q，
A [因为綈p是q的必要不充分条件，所以q?綈p，但綈p但綈qp，故选A.]
3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人
2021届高考数学(理)一轮复习学案：第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件
