6-1-5.和倍问题（二）
教学目标
1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．
知识点拨
知识点说明：
和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l份数×(倍数－1)=两数差.
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
例题精讲
【例 1】 一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 【考点】和倍问题 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72?(1?4?4）=8(岁)，妈妈的年龄是：
8?4?32(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁．
【答案】孩子的年龄为8岁，爸爸妈妈的年龄为32岁
【例 2】 三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5
倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上 条鱼。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花猫和黑猫共钓30条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的
2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍多3条，黑猫钓到（30-3）÷3＝9条
【答案】9
【例 3】 甲、乙、丙三人的年龄和为30岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半．乙（ ）岁． 【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛 【解析】 由题意可知，甲丙的年龄和是乙的2倍，那么三人的年龄和就是乙的3倍，故乙的年龄为30?3?10岁。
6-1-5.和倍问题（二）.题库 教师版 page 1 of 7 【答案】10岁
【例 4】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的
彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?
【考点】和倍问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4
倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有几张彩票．56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数；8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数 ；16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。
【答案】黄纸盒里有8张，红纸盒里有16张，蓝纸盒里有32张。
【例 5】 在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240，而减数是差的5倍．求差是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，
并认识它们之间的转化．
我们先看下面一道简单的减法算式：
15 － 10 = 5 被减数 减数 差
被减数、减数、差这三个数有下面的关系：
被减数=差+减数，如15=5+10
这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30，
30是被减数的2倍，30?2?15，就得被减数，也就是 减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和
是15，减数是差的2倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15?(2?1)?5． 列式：减数与差的和是多少？ 240?2?120 差是多少？ 120?(5?1)?20 【答案】20
【例 6】 被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。
把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70； 被除数为：70×2=140。
【答案】被除数140，除数70
【例 7】 两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、
商、余数的和等于1039．原来的被除数是 ，除数是 ．
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】小机灵杯，数学竞赛，五年级，复赛 【解析】 被除数、除数都扩大到原来的4倍，它们的商还是7、余数为5?4?20，所以被除数与除数的和为
1039?20?7?1012，而此时被除数比除数的7倍大20，所以除数为(1012?20)?(7?1)?124，所以原来的除数为124?4?31，被除数原来为31?7?5?222．
【答案】被除数222，除数31
【例 8】 学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍．排球比足球多4个．问学校买
来的篮球、足球、排球各多少个？
6-1-5.和倍问题（二）.题库 教师版 page 2 of 7 【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正．
从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l份数，这时三种球一共(49?4)个，总份数是(1?3?1)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数．
如果排球减少4个，三种球一共多少个？ 4?9?4(个)
足球多少个？ 4?5(?1?3(个?) 篮球多少个？ ?9?3(个2) 排球多少个？ 9+4(个=)
【答案】足球9个，篮球27个，排球13个。
【巩固】 一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克．已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克．一
筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 梨的重量是：(112?3)?(1?1?3)?23（千克） 苹果的重量是：23?3?69（千克）
香蕉的重量是：23?3?20（千克） 【答案】苹果69千克，梨23千克，香蕉20千克。
【巩固】 玩具厂生产红、黄、白气球共125个，其中红气球的个数是黄气球的3倍，白气球比黄气球少25个．问
三种气球各生产了多少个？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 黄气球：(125?25)?(3?1?1)?30（个）；红气球：30?3?90（个）；白气球：30?25?5（个） 【答案】黄气球30个，红气球90个，白气球5个。
【例 9】 小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只．白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、
黑鸡一共有多少只?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴黄鸡多少只？ 1?(只) 8(?2?1 ⑵白鸡多少只？ 1?8?2(只) ⑶黑鸡多少只？ 1?只) 8?1(3 ⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ 18?36?5?59(只) 【答案】59只
【例 10】 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹
果的2倍多2千克，橘子重多少千克?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：
6-1-5.和倍问题（二）.题库 教师版 page 3 of 7 如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍， 香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍， 这时三种水果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)， 正好是苹果重量的(1＋3＋2)倍，
苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .
【答案】24千克
【巩固】 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃
树、梨树和苹果树各有多少棵？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵
数为标准、作为1份数容易解答.
又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵），桃树的棵数：140×2＋12=292（棵），苹果树的棵数： 140-20=120（棵），桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
【答案】桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵
【巩固】 某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这
个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？
【考点】差倍问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 我们把鸭的只数看作1份，鸡的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于
鸭的：1?4 +2?7(份)．而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462?132 ?70?1400(只)．用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数．
鸭的只数：(1462?132?70)?(1?4?2)?1400?7?200(只)； 鸡的只数：200?4 ?132?800 ?132?932(只)；
鹅的只数：200?2?70?400?70?330(只)． 【答案】鸭200只，鸡932只，鹅330只
【例 11】 有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各
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分得多少块糖?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清
楚地看出：
甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就是100－13＝87(块)．87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量．丙：[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)；乙：29＋5＝34(块)；甲：34＋3＝37(块)。
【答案】甲37块，乙34块，丙29块。
【例 12】 王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共250只，其中鸭比鹅的2倍少10只，鸡比鸭的3倍多20只。王奶
奶养了__________只鸡，_________只鸭，___________只鹅。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 鹅比鸭的一半多5只，所以如果将多出少的去掉和补上一共有250-20-5=225，所以鸭有225÷
（3+1+0.5）=50只，鸡有50÷2+5=30只，鹅有50×3+20=170只.
【答案】鸡30只，鸭50只，鹅170只
【例 13】 甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如
果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有 块巧克力．
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛 【解析】 方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的巧克
力数为(73?5)?(1?1?2)?17（块），丙原有17?2?3?22（块）。
方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍，说明甲的糖是丙的糖的2倍少2?2?2?6块．所以，乙有(73?3?6)?(1?1?2)?19块糖，丙19?3=22（块）
【答案】22块
【例 14】 甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数
各是多少？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：
假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为： 183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：180÷6=30； 乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。
【答案】甲97，乙56，丙30
【例 15】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数
减3、丙校学生人数加4都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第8题
6-1-5.和倍问题（二）.题库 教师版 page 5 of 7
小学奥数 6-1-8 和倍问题（二）.教师版
