《独立性检验的基本思想及其初步应用》

课 题 教 学 目 标 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（一） 【知识与技能】 1、了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。 2、会从列联表（只要求2?2列联表）、柱形图、条形图直观分析两个分类变量是否有关。 3、会用K2公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性。 【过程与方法】 运用数形结合的方法，借助对典型案例的探究，来了解独立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤。 【情感、态度与价值观】 1、通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用。 2、培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出合理推断的实事求是的好习惯。 教学重点 理解独立性检验的基本思想及实施步骤。 教学难点 独立性检验的基本思想和随机变量K2的含义。 教学方法 以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主体，合作探究式进行学习。 教学手段 多媒体辅助教学。 教 学 内 容 （一） 创设情境，导入新课 5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看下面一个问题： 为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人） 表1 吸烟与患肺癌调查表 不患肺癌 患肺癌 总计 设 计 意 图 联系生活，引起共鸣，激发学生的学习兴趣。 （大屏幕展示） 从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动。 教 学 过 程 不吸烟 7775 吸烟 总计 42 49 91 7817 2148 9965 2099 9874 那么吸烟是否对患肺癌有影响呢？下面先来介绍一下与列联表相关的概念。 一、相关概念 1、分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量。 教 学 过 程 2、列联表：像表1 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表。学生活动，动手计（高中阶段我们只研究2?2列联表。） 问题1：根据列联表中的数据，计算吸烟者和不吸烟者中患肺癌的比算，做出相关结论。 重各是多少？ 3、三维柱形图和二维条形图: 借助多媒体辅助教将列联表中的数据输入到Excel表格中，将数据呈现到图形中。 师用Excel表格演示：借助三维柱形图和二维条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。 师：通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”。当对这个问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？ 学进行演示，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论。 设置问题，引发学生的思考，激发学生的求知欲望。 以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主体，合作探究式进行学习。 生作答 （二） 合作探究，收获新知： 二、独立性检验 1、独立性检验的思想 把表1中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： 表2 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 吸烟 总计 a c b d a?b c?d b?d a?b?c?d 为了回答上述问题，我们先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系。 ac 则有：，即ad?bc。 ?a?bc?d 因此，ad?bc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；ad?bc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。 构造一个随机变量 2a?c K2?n?ad?bc? （1） ?a?b??c?d??a?c??b?d? （其中n?a?b?c?d为样本容量。） 若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。 2 根据表1中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为 k?9965(7775?49?42?2099)?56.632 7817?2148?9874?912这个值到底能告诉我们什么呢？ 统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下， P(K2?6.635)?0.01 （2） 提问生作答 问题2：如何理解在H0成立的情况下，（2）式的含义呢？ 问题3：结合（2）式，以及K2的观测值k?56.632，由这两个式子你能得到什么样的结论呢？ 学生活动：讨论式教学，运用群体的力量和团队精神解决问题，通过给学生思考、探索的空间，培养学生的合作学习观念。 生成概念，让学生初步体会独立性检验的基本思想。 学生活动：分组进行讨论，而后让学生总结二者的联系和区别。 用类比的方法，帮助学生进一步理推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设H0 解独立性检验的思想，培养学生用联系教 学 过 程 师：这种判断会犯错误，但犯错误的概率不会超过0.01，即我们有。 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”上面这种利用随机变量K来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。 类比：上面解决问题的想法类似于反证法。可以从与反证法思想比较的角度帮助学生理解上面介绍的独立性检验的思想。 下表列出了二者的对应关系： 反证法 要证明的结论A 在A不成立的前提下进行推理 推出矛盾，意味着结论A成立 独立性检验 要检验的是H1 在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理 推出有利于H1成立的小概率事件发生，意味着H1成立的可能性很大 没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功 2 的观点看问题。 从上面的对比中，可以看出独立性检验的思想方法和反证法类似， 不同之处有两个：其一是在独立性检验中用有利于H1的小概率事件的 发生代替了反证法中的矛盾；其二是独立性检验中的接受原假设H0的结论相当于反证法中没有找到矛盾。 教 学 过 程 师：要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”？（师生共同回忆上述问题的独立性检验的过程。） 怎样判断K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，如果k?k0时，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”. 我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。 在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值： 2 教学生学会怎样运用临界值表。 P(K2?k0) 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 2、独立性检验的基本步骤： ① 根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0； ② 利用公式（1），由观测数据计算得到随机变量K的观测值k; 2③ 如果k?k0，就以(1?P(K?k0))?100%的把握认为“X与Y2有关系”；否则就说没有(1?P(K?k0))?100%的把握认为 “X与Y2 通过归纳总结，进一步加深学生对独立性检验思想的理解。 让学生复习列联表的制作方法，运用独立性检验的思想解决实际问题。 有关系”。 （三）课堂练习，夯实基础 1、应用举例 练习1、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。能够以 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病”有关系吗？ 2、展望高考 本节内容为新课标中的新增内容，主要考查独立性检验的统计分析方 法， 2010年宁夏理科高考试题，2009年辽宁文科高考试题均以解答题的形式考查2×2列联表及独立性检验问题，是一个新的考查方向。 思考1、（2010年新课标全国卷，宁夏，海南，吉林，黑龙江等地） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 教 学 过 程 性别 男 女 是否需要志愿者 40 30 需要 160 270 不需要 （1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.001 2P（k?k0) k0 3.841 6.635 10.828 让学生感悟高考真题，使之对所学新知识充满兴趣，提高其应用新知识解决问题的能力。 K2?n(ad?bc) (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2 熟练运用K2 思考2、（黑龙江省2010年高三二模试题） 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2?2列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系。 独立性检验临界值表 0.025 0.010 0.005 0.001 2P（k?k0) 5.024 6.635 7.879 10.828 k0 独立性检验随机变量K2公式进行独立性检验。 2值的计算公式：n(ad?bc)2K?（其中n?a?b?c?d） (a?b)(c?d)(a?c)(b?d) 偏高 不偏高 合计 超重 4 3 7 不超重 1 12 13 合计 5 15 20 (四)课堂小结，感悟提高 知识梳理