整除问题：
1. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 解答：99960
解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.
解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960. 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 解答：3367
先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.
(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）=(1+100)÷2×100-(3+99) ÷2×33 =5050-1683 =3367 3. 所有能被3整除的两位数的和是______. 解答：1665
能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下: 12,15,18,21,…，96，99
这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99) ×30÷2=1665 4. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 解答：96910或46915
五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.
5. 形如12345634563456，且能被11整除的最小自然数中的n等于几？
n个3456解答：5
合数与质数：
6. 在下面算式的方框内，各填入一个互不相同的数字，使得□□□×□=1995成立。 解答：
根据题意，要使一个三位数与一个一位数的积等于1995，那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。
1995=3×5×7×19
用1995的质因数3、5、7分别作为一位数，可以写出三个满足条件的算式。 665×3,399×5,285×7。
7. 自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。 解答：
根据题意，a与2376的积是一个平方数，由于平方数的每个质因数都是偶数个，所以可先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。
2376= × ×11，质因数 2、3都有3个，质因数11有1个，要配对，至少还需2、3、11各1个。
所以，a最小是2×3×11=66。
8. 小虎用2.16元买了一种小画片，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还可以多买3
张。问小虎买了多少张画片？ 解答：
根据题意，画片的单价与画片的张数之积应等于216（分），那么它们乘积的质因数应与
216相同。可先把216分解质因数，写成两数相乘形式，再根据条件求解。 216= × =8×27=9×24
显然，216分可买27张8分1张的画片，可买9分1张的画片24张，8分比9分便宜1分，27张比24张多3张，恰好符合条件。所以，小虎买了24张画片。
9. 有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。其中一个质因数是两位数，它的
数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是多少？ 解答：
因为已知一个质因数的两位数，不妨设为ab，则a+b=11，所以ab只有可能等于29，47，83，又要求这个两位数尽可能大，故只能是83；又因为这个自然数尽可能小，它还有3个不同的质因数，故另外二个质因数可取2和3：设所求的自然数为N，N= 。因为（r+1）（p+1）（q+1）=16，要使N最小，即只要指数r、p、q尽可能小，但不能小于1。故可得r=3，p=1，q=1，所以最小的N= ×3×83=1992。
10. 在1～300之间，求出：约数个数正好是15个的自然数。 解答：
首先看一下组成这数的质因子的情况是什么样子的。 15=1×15=3×5
根据约数的个数的公式，这个自然数中只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别是A、B。
当15分解为1×15=（0+1）×（14+1），说明这个自然数可以写为 × = ，即是14个相同质数的乘积，考虑到自然数的范围在1～300之间，设B=2，但是 =16384＞300，超出范围，因此这种情况是不可能的。
当15分解为3×5=（2+1）×（4+1）时，即自然数可记为 × 〈1〉当A=2,B=3时, × =324＞300 (超出) 〈2〉当A=3,B=2时, × =144＜300 (满足条件) 〈3〉当A=5,B=2时, × =400＞300 (超出)
由此可以得出，对于任何A＞3或B＞2的取法都不符合条件。 所以，在1～300之间，约数个数是15个的自然数只有144。
11. 在乘积1000×999×998×…×3×2×1 中，末尾连续有多少个零？ 解答：
不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手。因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积中的质因数2与5相乘得到。因此，只需计算一下，把乘积分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零。
先计算乘积中的质因数5的个数。
在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，…，1000。在这200个数中，有40个能被25＝ 整除，它们是25，50，…，1000。在这40个数中，有8个能被125＝ 整除，它们是125，250，…，1000。在这8个数中，有1个能被625＝ 整除，它是625。所以，乘积中的质因数5的个数等于200＋40＋8＋1＝249。
而乘积中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数。所以，乘积1000×999×998×…×3×2×1中，末尾连续有249个零。
12. 在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个？ 解答：
只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然。 在101至300之间的平方数： 、 、 、 、 、 、 。 其中 、 、 是质数的平方，它们分别只有3个约数。
所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289。 13. 有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数。 解答：
相邻两个奇数相差为2，现在已知有五个连续的奇数，当我们假定中间那个奇数为x时，那么从小到大这五个连续的奇数分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4。根据条件可得方程：（x—4）（x—2）x（x+2）（x+4）=135135。
方程虽然列出来了，但我们不会解这个高次方程，只好另寻它途。
把135135分解质因数：135135= ×5×7×11×13，而11与13正好是两个相邻的奇数，从这一事实出发，只要把 ×5×7适当调配一下，便有 ×5×7=7×9×15，而7、9、11、13、15正好是相邻的五个奇数，这样就找到了答案。所以这五个连续的奇数为7、9、11、13、15。 14. 把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？ 解答：
首先假设可以分成五个质数之和（分成6个以上质数之和不可能）：33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3，5，7，11，13的和是39超过33。所以分成五个是不可能的。
假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是：3，5，23 ；3，11，17； 7，11，13 ；5，7，19 三数乘积最大的是7×11×13＝1001 假设33可分成三个质数和，只可能是 3，13，17； 3，11，19； 3，7，23； 5，11，17。
乘积均小于2×7×11×13，33若分为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。故应将33写成四个质数：2，7，11，13的和。 最大公约数与最小公倍数：
15. 现有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么这4个
数的最大公约数是多少？ 解答：101
16. 设A,B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？ 解答：2550
17. 已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数. 解答：12,15
18. 所有形如abcabc的六位数，它们的最大公约数是多少？
解答：1001
19. 三条圆形跑道，圆心都在操场的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样
11的方向跑步. 开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，
5437外圈跑道长千米. 甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米，问他们
82同时出发，几小时后3人第一次同时回到出发点？ 解答：6小时 余数问题：
20. 一班同学买了310个本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本。问：一班有
多少个同学？
六年级下册数学试题-小升初专题训练-数论专题题库含答案
