＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则
△CEF2∽△BAC∽△CF3E．由EC＝EB利用等腰三角形的性质可得出点F2为线段BC的中点，进而可得出点F2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF3的长度，设点F3的坐标为（x，
1 x﹣2），结合点C的坐标可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，将其正值代入2点F3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解． 【详解】
2
（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax+bx﹣2，得：
1?a???a?b?2?0?2 ，解得：?， ?3?16a?4b?2?0?b????2∴抛物线的解析式为y＝（2）当x＝0时，y＝
123 x﹣x﹣2．
22123x﹣x﹣2＝﹣2，
22∴点C的坐标为（0，﹣2）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）， ∴AC＝12?22=5，BC＝42?22 ＝25，AB＝5． ∵AC2+BC2＝25＝AB2， ∴∠ACB＝90°．
过点D作DM∥BC，交x轴于点M，这样的M有两个，分别记为M1，M2，如图1所示． ∵D1M1∥BC， ∴△AD1M1∽△ACB． 3∵S△DBC＝S?ABC，
5∴
AM12?, AB5∴AM1＝2，
∴点M1的坐标为（1，0）， ∴BM1＝BM2＝3，
∴点M2的坐标为（7，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）， 将B（4，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+c，得： 1??4k?c?0?k?2 ， ，解得：???c??2??c??2∴直线BC的解析式为y＝
1 x﹣2． 2∵D1M1∥BC∥D2M2，点M1的坐标为（1，0），点M2的坐标为（7，0），
∴直线D1M1的解析式为y＝
1117 x﹣ ，直线D2M2的解析式为y＝x﹣．
222211?x?y???22 或?123?y?x?x?2?22?17x?22，
123x?x?222?y???联立直线DM和抛物线的解析式成方程组，得：??y????x1?2?7?x2?2?7?x3?1?x4?3??解得：? ，， ，， ???1?71?7y??2y??3?4?3?y1??y2??2?2∴点D的坐标为（2﹣7 ，2）．
1+71-7 ），（2+7 ，），（1，﹣3）或（3，﹣
22（3）分两种情况考虑，如图2所示．
①当点E与点O重合时，过点O作OF1⊥BC于点F1，则△COF1∽△ABC， 设直线AC的解析设为y＝mx+n（m≠0）， 将A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入y＝mx+n，得：
?-m?n?0?m??2 ，解得：? ， ??n??2?n??2∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2． ∵AC⊥BC，OF1⊥BC，
∴直线OF1的解析式为y＝﹣2x．
?y??2x?连接直线OF1和直线BC的解析式成方程组，得：? ， 1y?x?2??24?x???5解得：? ，
8?y??5?∴点F1的坐标为（
48 ，﹣ ）；
55②当点E不和点O重合时，在线段AB上取点E，使得EB＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则△CEF2∽△BAC∽△CF3E． ∵EC＝EB，EF2⊥BC于点F2， ∴点F2为线段BC的中点， ∴点F2的坐标为（2，﹣1）； ∵BC＝25 ， ∴CF2＝
11155 BC＝5 ，EF2＝ CF2＝ ，F2F3＝ EF2＝ ， 2222455 ． 4∴CF3＝设点F3的坐标为（x，∵CF3＝∴x2+[
1 x﹣2）， 255，点C的坐标为（0，﹣2）， 41125x﹣2﹣（﹣2）]2＝，
16255解得：x1＝﹣ （舍去），x2＝，
22∴点F3的坐标为（
35，﹣ ）． 244 ，﹣5综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（
385 ），（2，﹣1）或（ ，﹣ ）． 524
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标．
23．（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形．证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；
（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证． 【详解】
解:（1）由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′， ∠C=∠D′AE．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD． ∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD， 即∠1+∠2=∠2+∠3． ∴∠1=∠3． 在△ABE和△AD′F中
?D???B∵{AB?AD? ?1??3∴△ABE≌△AD′F（ASA）．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠5=∠6． ∴∠4=∠6． ∴AF=AE． ∵AE=EC， ∴AF=EC． 又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AF=AE，
∴平行四边形AECF是菱形．
考点：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．
24．（1）?3a2?5ab?3b2；（2）【解析】 【分析】
m． m?2?1?根据多项式乘多项式、完全平方公式展开，然后再合并同类项即可； ?2?括号内先通分进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算即可.
【详解】
?1??a?b??a?2b??(2a?b)2
=a2?2ab?ab?2b2?4a2?4ab?b2
??3a2?5ab?3b2；
1?m2?4m?4?(2)?1? ??2m?1m?m??=
m?2m?m?1??2 m?1(m?2)m． m?2【点睛】 ?本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 25．（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2. 【解析】
试题分析：（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可. 试题解析：（1）甲对，乙不对. ∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°， 解得n=4.
∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°， 解得n=
.
∵n为整数，∴θ不能取630°.
（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180， 解得x=2.
考点：多边形的内角和.
2019年通辽市数学中考一模试题(附答案)
