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初中数学试卷
桑水出品
难点探究专题：平面直角坐标系中的新定义与规律题
——掌握不同规律，以不变应万变
◆类型一 新定义
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a，b)和点Q(a，b′)，给出下列定义：若b′＝
??b（a≥1），?则称点Q为点P的限变点．例如：?－b（a＜1），?
5．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O上，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A20的坐标为__________．
点(2，3)的限变点的坐标是(2，3)，点(－2，5)的限变点的坐标是(－2，
－5)．如果一个点的限变点的坐标是(3，－1)，那么这个点的坐标是( )
A．(－1，3) B．(－3，－1) C．(3，－1) D．(3，1) 2．(2016·黔南州中考)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)＝(－a，－b)；③Ω(a，b)＝(a，－b)，按照以上变换，例如△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))＝________．
3．(2016·常德中考)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为点M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是________．
◆类型二 规律探究 4．一个质点P在第一象限及坐标轴上运动，在第1秒钟，从原点运动到(0，1)，然后按箭头的方向运动[即：(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，每秒移动一个单位，则点P运动到(7，7)位置时共运动了________秒．
6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，3?
点A2在x轴上，依次进行下去….若点A??2，0?，点B(0，2)，则点B2的坐标为________；点B2016的坐标为________．
7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成
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△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)求△OAB的面积；
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(2)写出△OA4B4的各个顶点的坐标；
(3)按此图形变化规律，你能写出△OAnBn的面积与△OAB的面积的大小关系吗？
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参考答案与解析
1．C (3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三
＋
2．(－3，4) 解析：○(Ω(3，4))＝○(3，－4)角形底边的2倍，高相等都是3，∴OBn＝2n1，＝(－3，4)． 1＋
S△OAnBn＝×2n1×3＝3×2n＝2nS△OAB，即
23．(1，8)或(－3，－2)或(3，2) 解析：∵以O，
A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，S△OAnBn＝2nS△OAB. ①当C为A，B的“和点”时，C点的坐标为(2－1，5＋3)，即C(1，8)；②当B为A，C的“和点”时，
??－1＝2＋x1，
设C点的坐标为(x1，y1)，则?解得C(－
??3＝5＋y1，
3，－2)；③当A为B，C的“和点”时，设C点的
??2＝－1＋x2，
坐标为(x2，y2)，则?解得C(3，2)；∴
?5＝3＋y2，?
点C的坐标为(1，8)或(－3，－2)或(3，2)．
4．56 解析：质点P每秒移动一个单位，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推，点P运动到(7，7)位置时共运动了2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(秒)．
20
5．(5，－5) 解析：∵＝5，∴A20在第四象
4限．∵A4所在正方形的边长为2，∴A4的坐标为(1，－1)，同理可得A8的坐标为(2，－2)，A12的坐标为(3，－3)，∴A20的坐标为(5，－5)．
3?
6．(6，2) (6048，2) 解析：∵A??2，0?，B(0，52)，∴Rt△AOB中，AB＝，∴OC2＝OA＋AB1＋B1C2
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＝＋＋2＝6，∴点B2的横坐标为6，且B2C2＝2，22即点B2的坐标是(6，2)，∴点B4的横坐标为2×6＝12，∴点B2016的横坐标为2016÷2×6＝6048，点B2016的纵坐标为2，即点B2016的坐标是(6048，2)．
11
7．解：(1)S△OAB＝OB·yA＝×2×3＝3；
22(2)根据图示知O的坐标是(0，0)；已知A(1，
3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，对于A1，A2，…，An的坐标，找规律比较发现An的横坐标为2n，而纵坐标都是3；同理B1，B2，…，Bn也一样找规律，
＋
规律为Bn的横坐标为2n1，纵坐标为0.由以上规律可知：A4的坐标是(16，3)，B4的坐标是(32，0)．综上所述，O(0，0)，A4(16，3)，B4(32，0)；
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