2019年
方法技巧训练(四) 解直角三角形中常见的基本模型
模型1 单一直角三角形
1．(2018·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)
解：作CH⊥AB于点H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH. 由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°. 设CD＝x米，则AH＝(30－x)米． 在Rt△AHC中，HC＝
AH
＝3(30－x)，则BD＝CH＝3(30－x)．
tan∠ACH
∴ED＝3(30－x)－10＝303－3x－10.
CD
在Rt△CDE中，＝tan∠CED，
DEx35
即＝＝，解得x＝15－3.
3303－3x－1035
答：立柱CD的高为(15－3)米．
3
模型2 背靠背型及其变式
2019年
2．(2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达434
C地，求B，C两地的距离．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)
553
解：过点B作BD⊥AC于点D.
由题意，知∠BAD＝60°，则∠ABD＝30°，∠CBD＝53°. CDCD4
在△BCD中，tan∠CBD＝，即tan53°＝＝.
BDBD3设CD＝4x，BD＝3x，则CB＝5x.
又∵AC＝13，∴AD＝13－4x.
DB
在△ABD中，tan∠DAB＝tan60°＝，
AD即
3x
＝3，解得x＝4－3. 13－4x
∴BC＝5x＝20－53.
答：B，C两地的距离是(20－53)千米．
3．(2018·通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图，其中山脚A，C两地海拔约为1 000米，山顶B处的海拔约为1 400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米．(结果保留整数，参考数据3≈1.732)
2019年
解：作BD⊥AC于点D.
由题意可得BD＝1 400－1 000＝400(米)． ∠BAC＝30°，∠BCA＝45°. 在Rt△ABD中，
BD4003
∵tan30°＝，即＝.
ADAD3
∴AD＝4003米． BD400
∵tan45°＝，即＝1.∴CD＝400米．
CDCD∴AC＝AD＋CD＝4003＋400≈1 093(米)．
答：隧道最短为1 093米．
模型3 母子型及其变式
4．(2018·德州)如图，两座建筑物的水平距离BC为60 m．从C点测得A点的仰角α为53° ，从A点测得3434
D点的俯角β为37° ，求两座建筑物的高度．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sim53°≈，
5545
cos53°≈，tan53°≈)
3
543
解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝BC＝60 m. AB
在Rt△ABC中，tan53°＝，
BCAB4
∴＝∴AB＝80 m. 603
AE
在Rt△ADE中，tan37°＝，
DE3AE
∴＝，∴AE＝45 m. 460
2019年
∴CD＝BE＝AB－AE＝35 m.
答：两座建筑物的高度分别为80 m和35 m.
5．(2018·桂林)如图，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1小时)
解：延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D. ∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，∴BD＝CD. 在Rt△BDC中，
CDCD2
∵cos∠BCD＝，BC＝60，即cos45°＝＝，解得CD＝302.
BC602∴BD＝CD＝302.
ADAD
在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝，即 tan60°＝＝3，解得AD＝306.
CD302∴AB＝AD－BD＝306－302＝30(6－2)．
AB30（6－2）
∴渔船在B处需要等待的时间为＝＝6－2≈1.0(小时)．
3030答：渔船在B处需要等待1.0小时．
模型4 其他模型
6．(2018·张家界)2017年9月8日～10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB＝1 000米)，沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.
2019年
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. 由题意知∠ADE＝30°，∠CDF＝30°， 11
∴AE＝AD＝×1 400＝700，
22
DE＝AD·cos30°＝7003.
∴DF＝EB＝AB－AE＝1 000－700＝300. FC
∵tan∠CDF＝，
DF∴FC＝300×
3
＝1003. 3
∴BC＝BF＋FC＝DE＋FC＝7003＋1003＝8003(米)． 答：该选手飞行的水平距离BC是8003米．
2020年中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形解直角三角形中常见的基本模型练习
