17. 1变量与函数
变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。
对于x的每一个值，y都有唯一的值与之相对应，称x是自变量，y是因变量，也称y是x 的函数。
函数关系的表示方法：1.解析法，即用函数表达式表示；2.列表法；3.图像法 会用解析法表示函数关系式。
17.2函数的图像
直角坐标系，x轴，横轴，y轴，纵轴，坐标原点，两轴的正方向；横坐标，纵坐标，坐标； 第一、二、三和四象限，坐标轴上的点不属于任何一个彖限；直角坐标系中的点与有序实数 对——对应。
会作坐标系中的点和写点的坐标。 描点法画函数图像：列表一描点一连线 会函数曲线图
17.3 一次函数
Y二kx+b,其中k、b是常数,kHO；若b二0 (KHO)也叫做正比例函数。
记住一个结论：若某一个点(a, b)在正比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点 (-a, -b)也在该函数图像上；即正比例函数关于原点对称。
一次函数的图像是一条直线，正比例函数经过原点。由于两点确定一条直线，所以可以分别 找出图像与坐标轴的两交点，画出过该两个点的直线即为所求图像。K为直线的斜率，b为 图像在y轴上截距。
K>0,增函数；k<0,减函数。
用待定系数法求一次函数的表达式。由于表达式中需确定k, b两个系数的值，所以只要已 知函数图像上的两个点即可列出二元一次方程组，解出两系数。
特殊值：两直线平行，则斜率k相同；两直线垂直，这斜率k值的乘积为-1.
17.4反比例函数
Y二k/x(kH0的常数)叫反比例函数，也叫双曲线；由于自变量x为分母，所以x不能取0； 图
像与坐标轴没有交点。
记住一个结论：若某一个点(a, b)在反比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点
(-a, -b)也在该函数图像上；即反比例函数关于原点对称。
K>0,图像在一、三彖限，减函数；K<0,图像在二、四象限，增函数。
注意：在比较函数值的大小时，需要分段讨论，因为反比例函数只在某个象限内才是增函数 或减函数，因为函数图像与x轴和y轴都没有交点。
要理解反比例函数的儿何意义:反比例函数图像上的任意点与原点构成的对角线的矩形面积 不变，面积都等于|k|。(见典型例题22题)。该结论常变形为，反比例函数图像上的点向 x(y)轴作垂线，图像上的点、垂足和原点这三个点构成的Rt△面积为|k|/2
要记住一个结论：反比例函数y二k/x图像上的点到原点的距离，当|x| = |y|时取得最小值距 离为|K|
17. 5实践与探索
1. 图像的直观性特点；数形结合解方程，画出函数图像，交点即为方程组的解。 2. 方程(不等式)与函数图像的关系：学会看图。 3. 回归线
典型例题
1. 一次函数与一个反比例函数的图像交于P (-2,1)、Q (1, m),求两个函数表达式。
思路：P点一反比例函数表达式一确定Q点中的ni值一一次函数表达式 要充分利用函数的
表达式求点的坐标。
2. 将函数y二2x+3的图像平移，使其经过点(2,-1),求平移后的函数表达式。
说明：(1)由于是平移，故斜率k不变，所以可以利用待定系数法确定截距b值；
(2) 此题可以水平平移，也可以垂直平移；
(3) 此题可知，如果斜率k确定了，直线平移可以扫描到坐标系中任意点；
如果截距b确定了，直线旋转可以扫描到坐标系中任意点。
3. 直线y二2x/3-2,分别交x轴、y轴于A、B两点，0是原点。
(1) (2)
求Z\\AOB的面积
ilAAOB顶点的直线把AAOB分成面积相等的两部分，这样的直线有几条，这些 直
线的函数表达式是什么？
说明：(1)要利用数形结合
(2)首先要知道过三角形顶点的直线如何把该三角形分为面积相等的两部分：等 底等
高的两个三角形面积相等，所以直线需要过底边的中点；
其次，如何找出该屮点：屮点的坐标等于两端点坐标和除以2,即X中二(X端点
i+X端点2), Y中二(Y端点i+Y端点2)
最后，两点确定一条直线，用顶点和底边屮点即可确定该直线的函数表达式。 本题的延伸：1.
两条相交直线与x (y)轴围成的三角形面积。思路是先确定交点，其y
(x)坐标就是三角形的一个高；与x (y)轴的两交点的横(纵)坐标之差的绝对值即 可底边长。
2. 两条相交直线与x (y)轴圉成的三角形，三条高线的函数表达式。思 路是先
确定斜率k值，由于高线垂直于底边，所以底边直线与高线的斜率Z积为-1；再 把顶点带入利用待定系数法确定截距b值。
4. 己知平面上四点 A(0, 0), B(10, 0), C(10, 6), 0(0, 6),直线 y=mx-3m+2 将四边 形ABCD分成
面积相等的两部分，则m的值为—.
分析：此题需要先在坐标系中做出四边形(矩形)，并要分析出如何把一个矩形分成面 积相等的两部分，有哪些直线能把该矩形分成面积相等的两部分，这些直线有什么共同点。 此题的关键就是要找出这些均分血积的直线的共同特点：经过矩形对称中心点的直线都能将 矩形的面积均分。对称中心的坐标为C点坐标的一半，即(5,3),将该点坐标带入直线y= mx—3m+2即可求出m的值为1/2。
1 |z
5. 如图，直线尸於与双曲线y=-(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4。若双曲线
上一点C的纵坐标为8, (1)求AAOC的面积.(2)过原点O的另一条直线/交双曲线y=-(k
|z X >
0)于P,Q两点(P点在第一象限)，若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点 P的坐
标.
解：(If 点A的横坐标为4,点A在y =*x上，???点A的纵坐标y =卜4 = 2,即A(4, 2).
k
又???点A(4, 2)在双曲线尸‘上，.??匸2X4F. 8
???点C在双曲线r上,且点C纵坐标为8,???C(1, 8).
如图，过点C作CM丄x轴于M,过点A作AN丄x轴于M.
SACOM=SAAON='^,= 4
SAAOC=S 四边形cMNA=gX ( | y,41 + | yc | ) X ( x.J — xj)=15.
, , 8
上述的解法比较简便，主要是利用面积的割补法。若要利用通过常规解法计算SAAOC,则比 较法复杂，解题过程如下：
过点C作0A的垂线1交底边于H, TCH丄0A,???垂线1的斜率为KX (1/2) =-1, K二-2,又 ???垂线1过点C,所以可求出垂线1的表达式为y=-2x+10,垂足H为垂线1和直线AB的交 点，.??解得H的坐标为II (4,2)0在RtAOCH中，0C2=82+l2,同理可解得OH,利用勾股定理 可得△OCA的高CH,同理解出其底边0A长,???Saoc= (1/2) XCHXOA
(2) ???反比例函数图象是关于原点0的屮心对称图形，???0P二OQ, 0A二0B,???四边形APBQ是平
行四边形
?°?SAPOA-^S平行四边形APBQ-yX 24=6.
4 4
设点P的横坐标为m (m>0且mH4),得P (m,—).
m 从(1 )小题可知S悌形PEFA二SAPOA，即S梯形PEFA=6 过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F,
S 梯形 PEFA二右(A/7 + PE) x EF弓(y：、+yp) X | XF~XE |,
当 XF>XE,即当 m<4 时,ix (2+-) X(4-m)=6 2 m 解得 m=2, m=-8 (舍去),AP (2, 4)
当 x卜VXE,即当 m>4 时,-X (2+—) X (m-4)=6 2 m 解得Hl二8, m二-2 (舍去)，???P (8, 1) ???点P的坐标是P (2, 4)或P (8, 1)。
6. 已知一次函数y=0. 5x + 3的图象过点A(2,4) ,B(0,3), 过点B
能不能画汕一直线BC将△ABO (O为坐标原点)分成面 积比为
1 : 2的两部分？如能，可以画岀儿条？并求出其小 一条直线所
对应的函数表达式，其他的直接写出函数关系式; 若不能，说明理由.
解：能，如图，直线BC和BC'都符?合题意.
V SABOC : SA ABC — SA ABC* : SABOC* =1 ： 2, 00 — CC —AC
9
,
i
A
9 S 2
则点C的纵坐标是§X4=§,点C‘的纵坐标是§X4=§；同理得点C的横坐标是§，点C，的
4
9 4
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函数及其图像知识点和例题(华东师大版第17章).docx
