函数与导数二轮复习建议
金陵中学 朱骏
函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用．
下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考函数部分试题的具体分布． 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 知识点 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 导数的概念 导数及其应用 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值 导数在实际生活中的应用 基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x)＝
，则f (x)的定义域为____________．
log(2x＋1)
11要求 B B B B B A A B A B B B B 2019 20 17 8 14 （17） 2019 20 10 11 9 3 2019 5,11 20 14 2019 2,11 17 12 12,19 （17） ??x＞－?2x＋1＞011
?2，故－＜x＜0，答案为（－，0）【解析】由，解得?．
22?log(2x＋1)＞0
??x＜0
说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质．
x－x例2（2019年江苏）设函数f(x)＝x(e＋ae)（x∈R）是偶函数，则实数a＝_______． 【解析】 由g(x)＝e＋ae为奇函数，得g(0)＝0，解得a=－1；也可以由奇函数的定义解得．
说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f(0)＝0是定义域包含0的函数f(x)是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．
x－xk－2x变式：若函数f(x)＝ x（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值是_______．
1＋k·2
答案：±1．
例3 设a(0＜a＜1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，1
若f()＝0，f(logat)＞0，则t的取值范围是________．
2
【解析】 因为f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f(x)的草图．
11a由图得－＜logat＜0或logat＞，解得t(0，a) ∪(1，)．
22a说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体
性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．
2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现．
2
?x＋1，x≥0，2
例4（2019年江苏卷）已知函数f(x)＝?则满足不等式f(1－x)＞f(2x)
?1， x<0，的x的范围是 ．
?1－x＞2x，
【解析】画出函数f(x)的图象，根据单调性，得?，解得 x∈(－1，2－2
?1－x＞0．
2
1)．
说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f(1－x)＞f(2x)具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用．
变式：设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________________________．
答案：f(a＋1)＞f(b＋2)．
2
例5（2019年江苏）设a为实数，函数f(x)＝2x＋(x－a)|x－a|． （1）若f(0)≥1，求a的取值范围； （2）求f(x)的最小值； （3）设函数h(x)＝f(x)，x∈(a, +∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1．．．．的解集． 【解析】（1）因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以，－a＞0，即a＜0．由a≥1，得a≤－1． （2）记f(x)的最小值为g(a)，
2
2
??3(x－ a)2＋2a，x＞a， ①2
33 f(x)＝2x＋(x－a)|x－a|＝? 22
?(x＋a)－2a， x≤a， ②?
（ⅰ）当a≥0时，f(－a)＝－2a，由①②知f(x)≥－2a，此时，g(a)＝－2a．
2
2
2
2
a2222
（ⅱ）当a＜0时，f()＝a．若x＞a，则由①知f(x)≥a；若x≤a，则x＋a≤2a333
22222
＜0，由②知f(x)≥2a＞a．此时，g(a)＝a．
33
??－2a，a≥0，
所以，g(a)＝?22
a， a<0．??3
（3）（ⅰ）当a∈(－∞，－
62
]∪[，＋∞)时，解集为(a, ＋∞)； 22
22
22a＋3－2a（ⅱ）当a∈[－, )时，解集为[，＋∞)；
223
62a－3－2aa＋3－2a（ⅲ）当a∈(－，－)时，解集是(a, ]∪[，＋∞)．
2233说明：1．江苏高考中经常考查含有绝对值的函数问题，解决绝对值问题的基本方法是去绝对值，按零点分类去绝对值、平方去绝对值是两种常用方法．
2．二次函数在区间上最值的讨论是对二次函数考查的一个热点问题，应熟练解决．将二次函数与分段函数结合起来，要求较高．（2）中之所以用0来区分，是因为①式中应比较
2
2
a3
与a的大小，②式中要比较－a与a的大小．
基本策略：
1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数
（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．
2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用（例2），证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．
3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．
对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中（如例4）．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．
题1 定义在R上函数f(x)，对定义域内任意的x都有f'(x)＜0成立，则f(－1)与f(－1)的大小关系是___________________．
题2 已知f(x)＝ax＋b，对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)均满足
f(x2)－f(x1)
＜0，则实
x2－x1
数a的取值范围为___________________．
有时还可能用类似于“f(x)＋x f'(x)＜0”的条件，给出了函数y＝x f(x)的单调性．
4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．
函数与导数二轮复习建议
