非线性最小二乘平差
6-1问题的提出
经典平差是基于线性模型的平差方法。然而在现实世界中，严格的线性模型并不多见。测量上大量的数学模型也是非线性模型。传统的线性模型平差中的很多理论在非线性模型平差中就不一定适用；线性模型平差中的很多结论在非线性模型平差中就不一定成立；线性模型平差中的很多优良统计性质在非线性模型平差中就不一定存在。例如，在线性模型平差中，当随机误差服从正态分布时，未知参数X的最小二乘估计
具有一致无偏性和方差最小性。但在非线性模型平差中，即使随机误差严格服从
也是有偏的。其方差一般都不能达到最小值。
正态分布，未知参数X的非线性最小二乘估计
对于测量中大量的非线性模型，在经典平差中总是进行线性近似（经典的测量平差中称之为线性化），即将其展开为台劳级数，并取至一次项，略去二次以上各项。如此线性近似，必然会引起模型误差。过去由于测量精度不高，线性近似所引起的模型误差往往小于观测误差，故可忽略不计。随着科学技术的不断发展，现在的观测精度已大大提高，致使因线性近似所产生的模型误差与观测误差相当，有些甚至还会大于观测误差。例如，GPS载波相位观测值的精度很高，往往小于因线性近似所产生的模型误差。因此，用近似的理论、模型、方法去处理具有很高精度的观测结果，从而导致精度的损失，这显然是不合理的。现代科学技术要求估计结果的精度尽可能高。这样，传统线性近似的方法就不一定能满足当今科学技术的要求。另外，有些非线性模型对参数的近似值十分敏感，若近似值精度较差，则线性化会产生较大的模型误差。由于线性近似后，没有顾及因线性近似所引起的模型误差，而用线性模型的精度评定理论去评定估计结果的精度，从而得到一些虚假的优良统计性质，人为地拔高了估计结果的精度。
鉴于上述各种原因，对非线性模型平差进行深入的研究是很有必要的。非线性模型的平差和精度估计以及相应的误差理论研究也是当前国内外测绘界研究的前沿课题之一。
电子教材 > 第六章 非线性模型平差 > 6-2 非线性模型平差原理
一、非线性误差方程
测量中大量的观测方程是非线性方程。比如导线测量中，以待定点坐标为未知参数的角度观测方程和边长观测方程分别为：
（6-2-1）
式中：为待定点坐标的真值，分别为角度观测值和边长观测值的真误差。角
度观测值和边长观测值的观测方程（6-2-1）式是待定点坐标真值（GPS伪距测量中，第j颗卫星至测站k的几何距离的观测方程为：
）的非线性函数。又如在
也是测站点k的待定坐标真值（表示
）的非线性函数。一般地，用L表示
的观测向量，用
的未知参数向量的真值，用△表示的真误差向量，则非线性观测方程可写为：
（6-2-2）
式中: ，是由n个的非线性函数组成的的向量;。
（6-2-2）式就是我们所要讨论的一般的非线性模型。
在一般的非线性模型（6-2-2）式中，用未知参数向量和真误差向量的估计值代替其真值，得非线性误差方程如下：
（6-2-3）
式中：V为观测值的改正数向量（残差向量）； 二、非线性模型平差
为参数向量的估值。
由非线性误差方程（6-2-3）式知，非线性误差方程（6-2-3）式中仅有n个方程，而有n + t 个未知数（n个观测值的改正数和t 个参数）。因此非线性误差方程（6-2-3）式是非线性不定方程组，有无穷组解。在这无穷组解中，必然有一组解能使
（6-2-4）
为
的一个非线性
我们将满足（6-2-4）式的一组解作为最优解，并称（6-2-4）式所确定的最小二乘
[23]
估计。本书中将求解非线性最小二乘估计的过程称为非线性模型平差。
可见，非线性模型平差与线性模型平差的是完全一致的。（6-2-4）式的几何意义就是观测空间至解空间的距离最短，或者说
是解轨迹π上离观测值L最近的点（见图6-1）。L到π的距离就是‖
V‖。
图6-1
在非线性模型（6-2-3）式中，若在，则残差向量V在
存在一阶连续偏导数，且
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的非线性最小二乘估计量存
处垂直于切空间T（见图6-1）。
一、非线性最小二乘估计的近似解
非线性最小二乘平差
