(1?1?1u)du?2x32(u?1)2(u?1)dx
两边积分得 1?1x4u2ce 即 x2?y2?cy2ex4 为方程的解。 29.
dy?y?exydxx 解： 令exy?u，则 y?lnux， xdudyudx?lnudx?x2， 那么 1duuxdx?lnux2?lnux2?u
即 duu2?xdx
两边积分得 12?xy2x?e?c
即为方程的解。
dy4x330. dx??2xy3?2x3x2y2?6y5?3y2 解： 方程可化为 (4x3?2xy3?2x)dx?(3x2y2?6y5?3y2)dy?0d(x4?x2)?(y3dx2?x2dy3)?d(y6?y3)?0
两边积分得 x4?x2?y6?y3?x2y3?c 即 x4?x6?c?(x2?1)(y3?1) 为方程的解。
31. y2(xdx?ydy)?x(ydx?xdy)?0
解： 方程可化为 y2xdx?y3dy?xydx?x2dy?0 两边同除以y2，得 xdx?ydx?x(ydx?xdy)y2?0
即
12d(x2?y2)?xdxdy?0 令x??cos?，y??sin?，则
41
?d???cos?dctg??0
即 ?d??dsin?sin2??0
两边积分得 ???1sin??c
将
1sin???y代入得， ????y?c
即 ?2(y?1)2?c2y2 故 (x2?y2)(y2?1)2?c2y2
dy1?xy332.
dx?1?x3y?0 解： 方程可化为 dy?1?xy3dx?1?x3y 两边同加上1，得 d(x?y)xy(dx?x2?y2)1?x3y 再由d(xy)?xdy?ydx，可知
d(xy)dy(x?y)(dx?xdx?y?x2y2?1)1?x3y 将（*）/（**）得
d(x?y)xy(x?yd(xy)?)x2y2?1
即
duuvdv?v2?1 整理得 duu?vv2?1dv
两边积分得 v2?1?cu 即 c(x?y)?x2y2?1 另外，x?y?0也是方程的解。
33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解： 设p(x,y)为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在y轴上的截距为： y?xdydx
*） （**）42
（ dy?x dxdy1即 ?y?1
dxx由题意得 y?x也即 ?ydx?xdy??dx
?ydx?xdydx ??2xxy即 d()??dlnx
x两边同除以x，得
2即 y?cx?xlnx 为方程的解。
34. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至v1?3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。 解：F?ma?mdv，又F?k1v，由此 dtdv?k1v dtdv即 ?kv
dtk其中k?1，解之得
m m lnv?kt?c 又t?0时，v?5；t?2时，v?3。 故得 k?13ln，c?ln5 205t320从而方程可化为 v?5()
53120当t?2?60?120时，有 v(20)?5?()20?0.23328米/秒
5即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。 解：由物理知识得：a?F合m(其中a为质点的加速度，F合为质点受到的合外力)
根据题意：F合?k1t?k2v
故：mdv?k1t?k2v(k2?0) dt43
即：
dv?(?k2)v?k1dtmmt(*)
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有
kV???k2emdt(?k21?dtmt?emdt?c) kk?e?k2t2m(k1kt?emt2?mk1emt2?c) 2k2又当t=0时，V=0，故c=
mk1k2 2因此，此质点的速度与时间的关系为：V?mkk21?mtk1mk2e?(t?)
2k2k236. 解下列的黎卡提方程 （1）y?e?x?y2?2yex?1?e2x
解：原方程可转化为：y???exy2?2e2xy?ex?e3x,(*)
观察得到它的一个特解为：y?ex，设它的任意一个解为y?ex?z，
代入（*）式得到：
d(ex?z)??ex(ex?z)2?2e2x(exdx?z)?ex?e3x(**)由（**）-（*）得：
dzdx??exz2 变量分离得：dzxz2??edx
两边同时积分：?1z??ex?c
即：z?1ex?c
故原方程的解为 y?ex?1c?ex
（2）y??y2?2ysinx?cosx?sin2x
解：原方程可化为：y???y2?2ysinx?cosx?sin2x
由观察得，它的一个特解为y?sinx，设它的任意一个解为y?sinx?z，故
dzdx?(?2sinx?2sinx)z?z2??z2 变量分离再两边同时积分得：1z?x?c即z?1x?c
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故原方程的解为y?sinx?（3）xy??xy?xy?1 解：原方程可化为：y??y?2221 x?c11y?2 xx112由观察得到，它的一个特解为y??x，设它的任一个解为y??x?z，故
dzdx??1xz?z2，该式是一个n?2的伯努利方程 两边同除以z2得到：1dz11z2dx??x?z?1
d1即：zdx?11xz?1，令1z?u，
则：dudx?1xu?1，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：
u?e?1xdx(??e??1xdxdx?c)?x(c?en|x|)
故：z?1x(c?en|x|)
因此：原方程的解为：xy?1c?en|x|?1
（4）4x2(y??y2)?1 解：原方程可化为：y??y2?14x2 由观察得到，它的一个特解为y??12x，设它的任一个解为y??12x?z，于是 dz??1z?z2dxx，这是n?2的伯努利方程 两边同除以z2得到：1dz11z2dx??x?z?1
d1即：zdx?11x?z?1
1?11则：xdxz?e(??e??xdx?c)?x(c?en|x|) 即：z?1x(c?en|x|)
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常微分方程第三版答案 doc
