所以，
?M?y=?N?x，故原方程为恰当方程 又2xyex2dx-2xdx+ex2dy=0 所以，d(yex2-x2)=0 故所求的解为yex2-x2=C 7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解：exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以，d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即d [ex( x2-2x+2)+ x3y2]=0 故方程的解为ex( x2-2x+2)+ x3y2=C 8. 2xydx+( x2+1)dy=0 解：2xydx+ x2dy+dy=0
d( x2y)+dy=0 即d(x2y+y)=0 故方程的解为x2y+y=C 9、ydx?xdy??x2?y2?dx 解：两边同除以 x2?y2 得
ydx?xdyx2?y2?dx 即，d???x??arctgy????dx 故方程的通解为argtg?x????y????x?c 10、ydx??x?y3?dy?0
26
解：方程可化为：
ydx?xdyy2?ydy 即， d???x??y????ydy 故方程的通解为：
xy?12y2?c 即：2x?y?y2?c? 同时，y=0也是方程的解。
11、?y?1?xy?dx?xdy?0
解：方程可化为：ydx?xdy??1?xy?dx
d?xy???1?xy?dx 即：
d?xy?1?xy?dx 故方程的通解为：ln1?xy?x?c
12、?y?x2?dx?xdy?0 解：方程可化为：
ydx?xdyx2?dx
?d??y??x???dx
故方程的通解为 ：
yx?c?x 即：y?x?c?x? 13、?x?2y?dx?xdy?0 解：这里M?x?2y,N?x ，
?M??y?N?x ?M?N?y??x1?1xdxN?x 方程有积分因子??e?x 两边乘以?得：方程x?x?2y?dx?x2dy?0是恰当方程
故方程的通解为：
??x2?2xy?dx???????x2??y??x2?2xy?dx?dy?c?x33?x3y?c 27
即：x3?3x2y?c
14、?xcos?x?y??sin?x?y??dx?xcos?x?y?dy?0 解：这里M?xcos?x?y??sin?x?y?,N?xcos?x?y?
因为
?M?y??N?x?cos?x?y??xsin?x?y? 故方程的通解为：
??xcos?x?y??sin?x?y??dx??????xcos?x?y???y??xcos?x?y??sin?x?y??dx???dy?c xsin?x?y??c
15、?ycosx?xsinx?dx??ysinx?xcosx?dy?o 解：这里M?ycosx?xsinx,N?ysinx?xcosx
?M?y??N?x ?M??y?N?x?M?1 方程有积分因子：??e?dy?ey 两边乘以?得：
方程ey?ycosx?xsinx?dx?ey?ysinx?xcosx?dy?0为恰当方程
故通解为 ：?ey?ycosx?xsinx?dx???????y?ey?ycosx?xsinx?dx??N???dy??c 即：eysinx?y?1??eycosx?c
16、x?4ydx?2xdy??y3?3ydx?5xdy??0
解：两边同乘以x2y得：
?4x3y2dx?2x4ydy???3x2y5dx?5x3ydy??0
d?x4y2??d?x3y5??0
故方程的通解为：x4y2?x3y5?c
17、试导出方程M(X,Y)dx?N(X,Y)dy?0具有形为?(xy)和?(x?y)的积分因子的充要条件。解：若方程具有?(x?y)为积分因子，
28
即： ?(?M)?y??(?N)?x （?(x?y)是连续可导） M???M???y???y?N?x???N?x M???y?N???x??(??M?y??N?x) (1) 令 z?x?y
???x?d?dz??z?x?d?dz，???y?d?dz . Md?dz?Nd?dz??(?N?x??M?y)， (M?N)d?dz??(?N?x??M?y) ， ?N?Md??x????yM?N ， dz??(x?y)dz ?N?M方程有积分因子?(x?y)的充要条件是：?x??yM?N是x?y的函数，此时，积分因子为?(x?y)?e??(z)dz .
(2) 令z?x?y
??d??zd??d??zd??x?dz??x?y?dz ，?y?dz??y?x?dz Mxd?d??Ndz?Nydz??(?x??M?y) (Mx?Ny)d??N?Mdz??(?x??y) ?N?Md??x??y??Mx?Ny 29
此时的积分因子为?(xy)?e18. 设f(x,y)及
??N?M??x?ydzMx?Ny
?f连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子. ?y证:必要性 若该方程为线性方程,则有
dydx?P(x)y?Q(x) , 此方程有积分因子?(x)?e??P(x)dx,?(x)只与x有关 .
充分性 若该方程有只与x有关的积分因子?(x) . 则?(x)dy??(x)f(x,y)dx?0为恰当方程 ,
从而
?(??(x)f(x,y))?y?d?(x)?f??(x)dx ,?y???(x) ,
f?????(x)?(x)dy?Q(x)????(x)?(x)y?Q(x)?P(x)y?Q(x) . 其中P(x)????(x)?(x) .于是方程可化为dy?(P(x)y?Q(x))dx?0 即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)?g(u),\\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])
?1
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
y?fx(f?g?f?g则?uyf?y=uf+uy?f?y+yf?u?y=fxy(f?g)+?y)?xy?xyxy(f?g)-yf?y?yx2y2(f?g)2 yf?g?f?g?xy?f?xy=?y?gy?yf?xy?y?g?xy(f?g)2=xy?yx(f?g)2 f?g?=
?xy?gf?xy(f?g)2 x?gy(f?g)?f?g而?uxg?x=ug+ux?g?x+xg?u?x=g?xyxy(f?g)+?xxy(f?g)- xg?x?xy?xx2y2(f?g)2 30
常微分方程第三版答案 doc
