dy3dx?dy4dx?P(x)y3?P(x)y4 即 d(y3?y4)dx?P(x)(y3?y4)
也就是y?y3?y4满足方程（2.3）
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为
Y?y?y'(X?x)
从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x?yy',0),(0,y?xy') 即 横截距为 x?yy'， 纵截距为 y?xy'。 由题意得： （5） y?xy'?x2 方程变形为
xdydx?y?x2 dydx?1xy?x
11于是 y?e?xdx(?(?x)e?(?x)dxdx?c)
?elnx(?(?x)e?lnxdx?c)
?x(?(?x)x?1dx?c) ?x(?(?x1x)dx?c) ?x(?x?c) ??x2?cx
所以，方程的通解为y??x2?cx。 （6）y?xy'?x?y2
21
方程变形为
xdyyxdx?2?2 dy11dx?2xy?2
11于是 y?e?2xdx(?(?1?(?)dx2)e2xdx?c)
1 ?e2lnx?(?1)e?1(2lnx2dx?c)
?1 ?x12(?(?1)x22dx?c)
1?x2(?(?1?1 2x2)dx?c)
11 ?x2(?x2?c) 1 ??x?cx2
1所以，方程的通解为y??x?cx2。 22．求解下列方程。 （1）(x2?1)y'?xy??0 解：y'?xy?11x2?1y?x2?1 ?xx y?ex2?1dx(??1??x2?1dxx2?1e?c)
1 =/x2?1/2[??11x2?11dx?c]
/x2?1/21 =/x2?1/2[??dx3?c]
/x2?1/2 =c/1?x2/?x
（2） y'sinxcosx?y?sin3x?0
dyysin2xdx?sinxcosx?cosx 22
sin2x1P(x)= Q(x)=
cosxsinxcosx由一阶线性方程的求解公式
1dxsin2x??sinx1cosxdx?sinxcosxy?e(?edx?c)
cosx =
sinxcosx(?sinxdx?c) =sinxcosx(?cosx?c)
=tgxc?sinx
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. (x2?y)dx?(x?2y)dy?0
解：
?M?y?1，?N?x=1 . 则
?M?y??N?x 所以此方程是恰当方程。
凑微分，x2dx?2ydy?(ydx?xdy)?0 得 ：
13x3?xy?y2?C 2． (y?3x2)dx?(4y?x)dy?0
解：
?M??y?1，N?x?1 . 则
?M?y??N?x . 所以此方程为恰当方程。
凑微分，ydx?xdy?3x2dx?4ydy?0 得 x3?xy?2y2?C
3． [y211x2(x?y)2?x]dx?[y?(x?y)2]dy?0
习题2.3
23
解： ?M2y(x?y)2?2y2(x?y)(?1)2xy?y?(x?y)4?(x?y)3 ?N2x(x?y)2?2x2(x?y)2xy?x??(x?y)4?(x?y)3 则
?M??x?N?y . 因此此方程是恰当方程。
?uy21?x?(x?y)2?x （1） ?u1x2?y?y?(x?y)2 （2） ）做x的积分，则u??y2对（1(x?y)2dx??1xdx??(y) =?y2x?y?lnx??(y) （3） 对（3）做y的积分，则?u?(?1)y2?(x?y)2yd?(y)?y??(x?y)2?dy =?2xy?y2d?(x?y)2?(y)dy =1y?x2(x?y)2 则d?(y)dy?1y?x2y2?2xy1x2?2xy?y21(x?y)2?(x?y)2?y?(x?y)2?y?1 ?(y)??(1y?1)dy?lny?y
u??y2yy2?x?y?lnx?lny?y?lnx?xy?y2x?y?lnyx?xyx?y故此方程的通解为lnyx?xyx?y?C 4、 2(3xy2?2x3)dx?3(2x2y?y2)dy?0
24
解：
?M?y?12xy，?N?x?12xy . ?M?N?y??x . 则此方程为恰当方程。
凑微分，6xy2dx?4x3dx?6x2ydy?3y2dy?0
3d(x2y2)?d(x4)?d(x3)?0
得 ：x4?3x2y2?y3?C 5.(
1xyy1yx1ysiny-xx+1)dx+(x cosx-x2cosy2 siny+y2)dy=0 解： M=
1ysinxy-yy1yxx1x2cosx+1 N=x cosx-y2 siny+y2 ?M1xxx1yy?y=-yy2 siny-y3cosy-x2 cosx+x3sinx ?N?x=-1xxx1yyyy2 siny-y3cosy-x2 cosx+x3sinx
所以，
?M??y=N?x，故原方程为恰当方程 因为
1ysinxydx-yy1yxx1x2cosxdx+dx+x cosxdy-y2 sinydy+y2dy=0 d(-cos
xy)+d (sinyx)+dx+d(-1y)=0 所以，d(sin
yx1x-cosy+x -y)=0
故所求的解为sinyx-cosx1y+x -y=C
求下列方程的解：
6．2x(yex2-1)dx+ex2dy=0
解：
?Mx2?Nx2?y= 2xe , ?x=2xe
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常微分方程第三版答案 doc
