12.(ylnx?2)ydx?xdyc4x2?lnx2?14解：dylnx22ydx?xy?x 两边除以y2dylnx2y?1y2dx?x?xdy?1lnx2y?1dx?x?x 令y?1?zdz2lndx?xz?xxP(x)?2lnxx,Q(x)??x方程的通解为：z?e?P(x)dx(?e??P(x)dxQ(x)dx?c)2z?e?xdx(?e??2xdx(?lnx1lnxx)dx?c)?x2(?x2(?x)dx?c)?c4x2?lnx2?14方程的通解为:y(c4x2?lnx2?14)?1,且y=0也是解。13
2xydy?(2y2?x)dxdy2y2dx??x2xy?yx?1
2y这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以
1y， ydyy2dx?x?12 令y2?z
dzdx?2ydydx dz2y22dx?x?1?zx?1 P(x)=
2x Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式
16
22z?e?xdx(??e??xdxdx?c)
=x?x2c
y2?x?x2c
14 dydx?ey?3xx2 两边同乘以ey eydy(ey)2?3dx?xeyx2 令ey?z
dzdx?eydydx dzz2?3xz3zz2dx?x2?x?x2 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以z2
1dz31z2dx?xz?x2 令1
z
?T dT1dzdT?3Tdx??z2dx dx?x?1x2
P（x）=?3?1x Q(x)=x2
由一阶线性方程的求解公式
?3T?e?dx(??1?3xxdxx2edx?c)
=x?3(?12x2?c) =?1x?1?cx?32 z(?1x?1?cx?32)?1
ey(?12x?1?cx?3)?1
?1x2ey2?cey?x3 12x2?x3e?y?c 15
dydx?1xy?x3y3
dx?yx?y3x3dy
17
这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以x3
1dxx3dy?yx2?y3 令x?2?z
dz??2x?3dxdydy
dzdy??2yx2?2y3=?2yz?2y3 P(y)=-2y Q(y)=?2y3 由一阶线性方程的求解公式 z?e??2ydy(??2y3e???2ydydy?c)
=e?y2(??2y3ey2dy?c)
=?y2?1?ce?y2
x2(?y2?1?ce?y2)?1 x2ey2(?y2?1?ce?y2)?ey2
ey2(1?x2?x2y2)?cx2
ex+
?x0y(t)dt
dydx?ex?y(x) dydx?y?ex P(x)=1 Q(x)=ex 由一阶线性方程的求解公式
y?e?1dx(?exe??1dxdx?c)
=ex(?exe?xdx?c)
=ex(x?c)
ex(x?c)?ex??xex0(x?c)dx
c=1 y=ex(x?c)
设函数?(t)于?∞ 16 y=17 18 试求此函数。 令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=?(0) 故?(0)?0或?(0)?1 （1） 当?(0)?0时 ?(t)??(t?0)??(t)?(0) 即?(t)?0 2?t?(?∞,?∞) (2) 当?(0)?1时 ?(t)?'lim?t?0?(t??t)??(t)?t= = lim?t?0?(t)?(?t)??(t)?t = lim?t?0'?(t)(?(?t)?1)?tlim?t?0?(?t?0)??(0)?t?(t) =?(0)?(t) 于是 'd?d???'(0)dt 积分 ??ce?(0)t ??'(0)?(t) 变量分离得?dt由于?(0)?1，即t=0时??1 1=ce?c=1 故?(t)?e?(0)t 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若y?y(x)是（2.3）的非零解，而y?y(x)是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为y?cy(x)?y(x)，其中c为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明： '0dy?P(x)y?Q(x) （2.28） dxdy?P(x)ydx （2.3） （1） 设y1，y2是（2.28）的任意两个解 则 dy1?P(x)y1?Q(x) （1） dxdy2?P(x)y2?Q(x) （2） dxd?y1?y2??P(x)(y1?y2) dx（1）-（2）得 即y?y1?y2是满足方程（2.3） 所以，命题成立。 19 （2） 由题意得： dy(x)dx?P(x)y （3） dy(x)dx?P(x)y(x)?Q(x) （4） 1）先证y?cy?y是（2.28）的一个解。 于是 c??3???4? 得 cdydx?dydx?cP(x)y?P(x)y?Q(x) d(cy?y)dx?P(x)(cy?y)?Q(x) 故y?cy?y是（2.28）的一个解。 2）现证方程（4）的任一解都可写成cy?y的形式 设y1是(2.28)的一个解 则 dy1dx?P(x)y1?Q(x) （4’） 于是 （4’）-（4）得 d(y1?y)dx?P(x)(y1?y) 从而 yP(x)dx1?y?ce??cy 即 y1?y?cy 所以，命题成立。 （3） 设y3，y4是（2.3）的任意两个解 则 dy3dx?P(x)y3 （5） dy4dx?P(x)y4 （6） 于是（5）?c得 cdy3dx?cP(x)y3 即 d(cy3)dx?P(x)(cy3) 其中c为任意常数也就是y?cy3满足方程（2.3） （5）?（6）得 20
常微分方程第三版答案 doc
