18.证明方程xy?dydx?f(xy)经变换xy?u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程（1）.y(1?x2y2)dx?xdy(2).xdy2?x2y2ydx?2?x2y2证明：因为xy?u,关于x求导导得y?xdydx?dydydudx,所以xdx?dx?y得：1duduuydx?1?f(u),dx?y(f(u)?1)?x(f(u)?1)?1x(uf(u)?u)故此方程为此方程为变程。解(1):当x?0或y?0是原方程的解，当xy?0s时，方程化为xdy22ydx?1?xy令xy?u,则方程化为du1dx?x(2u?u3),变量分离得：du12u?u3?xdx两边同时积分得：u24y22u2?2?cx,即x2y2?c?2x,y?0也包含在此通解中。2故原方程的解为原y2x2y2?cx,x?0.?2
解 (2)令xy?u，则原方程化为du12?u214udx?x(u2?u2?u)?x2?u22?u24udu?1xdx，两边积分得lnyx?x2y2分离变量得4?c，这也就是方程的解。
x19. 已知f(x)
?f(x)dt?1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式.
0x解：设f(x)=y, 则原方程化为?f(x)dt?1 两边求导得y??1y2y' 0y?y3?dydx;;;;;;;;;;dx??1111y3dy;;;;;;;;;;;;两边积分得x?c?2y2;;;;;所以y??2x?cx把y??12x?c代入?f(x)dt?10y x??1;;;;?(2x?c?c)??2x?c得c?0,所以y??102t?cdt??2x?c;;;;;;2x
11
20.求具有性质 x(t+s)=
x(t)?x(s)的函数x(t),已知x’(0)存在。
1?x(t)x(s)解：令t=s=0 x(0)=
x(0)?x(0)2x(0)= 若x(0)?0 得x2=-1矛盾。
1?x(0)1?x(0)x(0)x(t??t)?x(t)x(?t)(1?x2(t))?lim?x'(0)(1?x2(t)) 所以x(0)=0. x’(t)=lim?t?t[1?x(t)x(?t)dx(t)dt?x'(0)(1?x2(t))
dx(t)1?x2(t)?x'(0)dt x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解 1．
dydx=y?sinx 解： y=e ?dx(?sinxe??dx
dx?c)
=ex[-12e?x(sinx?cosx)+c] =c ex-12 (sinx?cosx)是原方程的解。
2．
dx2dt+3x=et 解：原方程可化为：
dxdt=-3x+e2t 所以：x=e??3dt (
?e2t e???3dtdt?c)
=e
?3t (
155et+c) =c e?3t+15e2t 是原方程的解。
3．dsdt=-scost+12sin2t
解：s=e??costdt(?1sin2te?3dt2dt?c )
=e
?sint(?sintcostesintdt?c)
= e
?sint(sintesint?esint?c)
=ce?sint?sint?1 是原方程的解。
两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以12
4．
dydx?xny?exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dyxdx?ny?exxn
y?e?nxdx(?exxne??nxdxdx?c)
?xn(ex?c) 是原方程的解.
5．
dy1?dx+2xx2y?1=0 解：原方程可化为：dy1?2xdx=-x2y?1 1?2x y?e?2x?1x2dx(e?x2dxdx?c)
(lnx2?1?1?e2)(?e?lnx2xdx?c)
1=x2(1?cex) 是原方程的解.
dyx4?x36． dx?xy2 解：dyx4?x3dx?xy2 =x3yy2+x
令
ydydux?u 则 y?ux dx=u?xdx
因此：u?xduxdx=u2
dudx?1u2
u2du?dx 1u33?x?c
u3?3x?x?c （*） 将
y?u带入 （*）中 得：y3?3x4?cx3x是原方程的解. 13
7.dy?2y1?(x?1)3dxx?解：dy?2yx?1?(x?1)3dxP(x)?2x?1,Q(x)?(x?1)3P(2e?x)dx?e?x?1dx?(x?1)2方程的通解为： y=e?P(x)dx(?e??P(x)dxQ(x)dx?c) =(x+1)(2?1(x?1)2*(x+1)dx+c)3 =(x+1)(2?(x+1)dx+c) 2((x?1)2 =(x+1)2?c) 即：2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解。 8.dyydx =x?y3dxx+y3解：?y?1yx?y2dy则P(y)=1,Q(y)?y2y1 e?P(y)dy?e?ydy?y方程的通解为： x=e?P(y)dy(?e??P(y)dyQ(y)dy?c) =y(?1y*y2dy?c) =y32?cyy3即 x=2 +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。 14
9.dydx?ayx?1x?x,a为常数10.xdy解：（Px)?a,Qx?1?y?x3x(x)?xdxady13e?P(x)dx?e?xdx解：??y?x?xadxx方程的通解为： y=e?P(x)dx(e??P(x)dx1Q(x)dx?c)P(x)??x,Q(x)?x3 =xa(?1x+1xaxdx+c) e?P(x)dx?e??1xdx?1 当 a?0时，方程的通解为x方程的通解为： y=x+ln/x/+c P(x)dx?P 当 a?1时，方程的通解为 y=e?(?e?(x)dxQ(x)dx?c) y=cx+xln/x/-1 =1( 当 a?0，1时，方程的通解为x?x*x3dx?c)x3 y=cxa+x1-a-1a =4?cx 方程的通解为： y=x3?c 4x 11.dydx?xy?x3y3解：dydx??xy?x3y3两边除以y3dyy3dx??xy?2?x3dy-2dx??2(?xy?2?x3)令y?2?zdzdx??2(?xz?x3)P(x)?2x,Q(x)??2x3e?p?x?dx?e?2xdx?ex2方程的通解为： z= e?p?x?dx(?e??p?x?dxQ(x)dx?c) =ex2(?e?x2(?2x3)dx?c)
=x2?cex2?1故方程的通解为：y2(x2?cex2?1)?1,且y?0也是方程的解。 15
常微分方程第三版答案 doc
