故：原方程的解为：2xy?2c?en|x|?1
（5）x2(y??y2)?2 解：原方程可化为：y???y2?2x2 由观察得，它的一个特解为y??1x，故设它的任一个解为y??1x?z，于是 dzdx?2xz?z2，这是n?2的伯努利方程 两边同除以z2得到：1dz21z2dx?x?z?1
d1即：zdx??2x?1z?1
22则：1z?e??dx(?e?xdxdx?c)?1x3xx2(3?c) 故：原方程的解为：y?3x2x3?c?1x，即xy?2x3?cc?x3. （6）x2y??(xy?2)2?0 解：原方程可化为：y???y2?4xy?4x2 由观察得到它的一个特解为y?11x，设它的任一个解为y?x?z，于是
dzdx?2xz?z2，这是n?2的伯努利方程 两边同除以z2得到：1dz21z2dx?x?z?1
d1即：zdx??2x?1z?1
??2dx?23则：1z?ex(?exdxdx?c)?1xx2(3?c) 1??2dx2从而：z?e(?e?xdxdx?c)?1x3xx2(3?c) 故原方程的解为：y?13x24x?x3?cx3?c?x(x3?c) 46
即：xy?4x3?cx(x3?c)
（7）y??(x?1)y2?(1?2x)y?x
解：由观察得到它的一个特解为y?1，故设它的任一个解为y?1?z，于是
dzdx??z?(x?1)z2，这是n=2的佰努利方程， 两边同除以z2得：1dz1z2dx??z?(x?1)
d1即：z1dx?z?(1?x)
从而：1dx?z?e?(?(1?x)e?dxdx?c)
?ex(xe?x?c)?x?cex
故原方程的解为：y?1?z?1?1x?cex
习题3.1
1 求方程
dydx=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取?0(x)?0
??x11(x)?y0?0(x?y20)dx??x0xdx?2x2 ?(x)?y?x2x122121520?0[x??1(x)]dx??0[x?(2x)]dx?2x?20x
?x121523(x)?y0??0[x?(2x?20x)]dx
= 12152x?20x?1160x8?14400x11
2 求方程
dydx=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令?0(x)?0
则 ?1(x)?y0??x(x?y2100)dx??x0xdx?2x2 ?)?yx2x12212152(x0??0[x??1(x)]dx??0[x?(2x)]dx?2x?20x 47
??x3(x)?y0?0[x?(121522x?20x)]dx =1215181112x?20x?160x?4400x
3 题 求初值问题：
??dy??x2 R：x?1?1，y?1 ?dx?y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解： 因为 M=max{x2?y2}=4 则h=min(a,bM)=14 则解的存在区间为x?x10=x?(?1)=x?1?4
令 ?0(X)=0 ;
x?111(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+;
x033x ?(x) =y2131213xx4x71120+??[x?(x?)]dx=x--1333918-63+42
又
?f(x,y)?y?2=L 则：误差估计为：?x)??(x)?M*L23112((2?1)2h=24
14 题 讨论方程：
dydx?32y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；
?2解：因为?f(x,y)13?y=2y在y?0上存在且连续；
1 而32y3在y???0上连续
48
13由
dydx?32y3有：y=（x+c）2
3又 因为y(0)=0 所以：y=x2 另外 y=0也是方程的解；
?故 方程的解为：y=?3?x2x?0 ??0x?0或 y=0;
6题 证明格朗瓦耳不等式：
设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数，且满足不等式：
t f(t)?k+
?f(s)g(s)ds,??t?? ?t 则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t??
?t证明：令R（t）=
s)g(s)ds,则R'(T)=f(t)g(t)
??f(R'(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t)
?kg(t)R'(T)- R(t)g(t)?kg(t);
t两边同乘以exp(-g(s)ds) 则有：
??ttR'(T) exp(-?g(s)ds)-R(t)g(t) exp(-g(s)ds)
???t? kg(t) exp(-?g(s)ds)
?两边从?到t积分：
49
tttR(t) exp(-?g(s)ds)?-kg(s)dsexp(-g(r)dr)ds
?????tt即 R(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds
?stt又 f(t) ?1?k+R(t) ?k+k?g(s)exp(-g(r)dr)ds
??sts ?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)
stt即 f(t) ?k?g(r)dr;
?7题 假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的 不增函数，试证方程
dydx= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x) 则满足：
x ?(x)= y0+
(x,?(x))dx
x?f0x ?(x)= y0+
x?f(x,?(x))dx
0 不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0
xx而?(x)- ?(x)=
x?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dx
0x0x =?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx
x0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的 增函数，则： f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0
x则?(x)- ?(x)= [f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0
x?0则?(x)- ?(x)?0
所以 ?(x)- ?(x)=0， 即 ?(x)= ?(x)
则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多 只有一个解；
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常微分方程第三版答案 doc
