2019-2020 年中考数学第二轮复习 专题讲解
函数及图象
关联着丰富的几何知识，
又是进
一、总述
函数及其图象是初中数学的重要内容。 函数与许多知识有深刻的内在联系，
一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。二、复习目标
1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于 2、会从不同角度确定自变量的取值范围。 3、会用待定系数法求函数的解析式。
4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。 5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。
x 轴、 y 轴或
原点的对称点的坐标。
三、知识要点
函 数
概 念
初等函数
一次函数 二次函数 反比例函数
定义
解析式
图
研究方法
平面直角坐标系
综 合
像 性 质
点的坐标特征
运 用
( 一 ) 平面直角坐标系中， x 轴上的点表示为 (x ， 0) ； y 轴上的点表示为 (0 ， y) ；坐标轴上的点不属于任何象限。 ( 二) 一次函数
解析式： y = kx + b(k
、 b 是常数， k ≠0) ，
当 b = 0 时，是正比例函数。
(1) 当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大；
(2) 当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小。
( 三) 二次函数 1、解析式：
(1) 一般式： y = ax
2 + bx + c (a
≠0);
(2) 顶点式： y = a ( x– m ) (3) 交点式： y = a (x
2
+ n ，顶点为 (m , n);
－x2 ) ，与 x 轴两交点是 (x 1,0) ， (x 2,0) 。
– x 1 ) ( x
2、抛物线位置由 a、 b、 c 决定。
(1)a 决定抛物线的开口方向： a＞ 0 开口向上 ;a ＜ 0 开口向下。 (2)c 决定抛物线与 y 轴交点的位置：
① c ＞ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴上方；
② c ＝ 0 图象过原点；
③ c ＜ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴下方。
(3)a 、 b 决定抛物线对称轴的位置，对称轴x
b 2a
。
① a 、 b 同号对称轴在 y 轴左侧； ② b = 0
对称轴是 y 轴；
③ a 、 b 异号对称轴在 y 轴右侧。 (4) 顶点 (
b 4ac b
,
2
) 。
2a 4a
(5) △ = b － 4ac 决定抛物线与 x 轴交点情况：
2
① △＞ 0 抛物线与 x 轴有两个不同交点； ② △＝ 0 抛物线与 x 轴有唯一的公共点；
③ △＜ 0 抛物线与 x 轴无公共点。 ( 四) 反比例函数 解析式： y
k
(k 0) 。
x
y 随 x 的增大而减小； y 随 x 的增大而增大 .
y cm 与点燃时间 x 分钟之间的关
(1)k ＞ 0 时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内， (2)k ＜ 0 时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内， 四、例题选讲
例 1．为预防“非典” ，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度 系是一次函数，已知点燃
（ 1）求点燃 10 分钟后艾条的长度。
（ 2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。
解：（ 1）令 y=k · x+b，
当 x=6 时， y=17.4 ，当 x=21 时 y=8.4 ，则
6 分钟后的长度为 17.4 cm ， 21 分钟后的长度为 8.4 cm 。
6k+b=17.4 21k+b=8.4
解得
3
k b
5 21
y与x之间的函数关系式为 y
3
x 21
5
3 10 21 15, 5
所以点燃 10分钟后艾条的长为 15cm.
(2) 艾条全部烧完，即 y=0， 令
当x 10时 y
3
5
x 21 0，解得： x=35，
因此，点燃 35 分钟后艾条全部烧完。
例 2．小明从斜坡 O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是
y 4x
1 2
x
2
，斜坡的直线方程是
y x ，其
2
1
中 y 是垂直高度（米） ， x 是与 O点的水平距离（米） 。
⑴网球落地时撞击斜坡的落点为 的最高点的坐标。
A 点与 O点的水平距离就是点
A ，求出 A 点的垂直高度，以及
A 点与 O点的水平距离。⑵求出网球所能达到
y
O
分析 : （ 1）∵ A 点的垂直高度就是点 A 的纵坐标，
A 的横坐标，而点 A 既在抛物线上又
B
在直线
x
上
A
∴只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。
（ 2）求最高点即抛物线顶点
B 的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标的公式即可求出。
y y
4x
1 2
x
2
解： (1) 由方程组
解得 A 点坐标（ 7， 3.5 ），求得 A 点的垂直高度为
3.5 米， A 点与 O点的水
1 x
2
(2) y 4x
1
1 x2
2
1 ( x2
2
8x)
1 ( x2
2
8x 4
2
16)
平距离为 7 米。
( x 4) 2 8
2 最高点 B的坐标为 (4,8).
1
2),(1,y 3) 都在反比例函数 y
例 3 若点 (-2,y 1),(-1,y
的图像上 , 则
x
(A)y 1>y2>y3 (B)y 2>y1>y3 (C)y 3>y1>y2 (D)y 1>y3>y2 分析：∵函数 y
1
y
的图像在第二、四象限，
x
1
x
y 随着 x 的增大而增大，又第二象限的的函数 值大于第四象限的函数值 ∴ y2>y1>y3，选 (B)
- 1
O
例 4. 如图，要建一个长方形养鸡场， 鸡场的一边靠墙， 如果用 50 米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x 米 ,
(1) 要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？ (2) 如果中间有 n(n 是大于 1 的整数 ) 道篱笆隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为
多少米？
解 :(1) 设鸡场的面积为
y 米 , 则宽为
2
50
x
米，即 y
1
(x 25)
2
x
625 。
3
3
3
所以当 x=25 时，鸡场的面积最大。
(2) y x 50 x ,
n 2
配方得 y
所以当 x
1 ( x 25) 625 ,
n 2 n 2
25cm时,鸡场的面积最大 .
2
由（ 1）（ 2）结果可得出：不论鸡场中间有几道墙，要使鸡场面积最大，它的总长等于篱笆总长的一半。
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