物理学相关 10-2分波法

§ 10.2 分波法

§ 10.2 分波法

不含时Shrodinger方程

???2?????2?V(r)????E???2?? ??exp(ikr)?rlim????exp(ikz)?f(?)r

f(?)?limre?ikr[??eikz]

r??

一、分波展开和相移

中心力场： H????22??2?V(r) 力学量完全集：{H?,L?2,L?z} 基底：{Rnl(r)Ylm(?,?)}

{Rl(kr)Yl0(?)}

能量E给定，用k?2?E? 标记

沿z轴入射，V(r)球对称，? 与?无关，

分离变量（按分波展开）：

1

m?0 § 10.2 分波法

1

???Rl(kr)Yl0(?)

l?0? 代入方程

??22?????V(r)???E? ???2????2221?1L 注意到 ??，得径向方程。 r?r?r2r2?21、径向方程 对第 l分波Rl(kr)

?1d2?2l(l?1)r?k?2?U(r)?Rl(kr)?0 ?2r???rdr? k?2?E? U(r)?2?V(r)?2 2、Rl(kr)渐近式 r??方程渐近形式

d2rR?0 rR?k???l?l2dr2rRl?C1exp(ikr)?C2exp(?ikr)?Clsin(kr??l)

§ 10.2 分波法

1

Bl limRl(kr)?sin(kr??l)

r??kr其中， ?l和Bl由边界条件确定。

3、力场 U(r)使Rl(kr)产生的相移 （1）

无力场，U(r)?0

Rl(kr)?Rl(0)(kr)~jl(kr)（自由球面波）

limRl(0)(kr)?r??

证明： U(r)?0，径向方程

Bll?sin(kr?) kr2?1d2?2l(l?1)r?k?2?U(r)?Rl(kr)?0 ?2r???rdr?成为 Bessel 方程：

??1?r???d2l(l?1)2?(0)r?k?R(kr)?0 22?ldrr??通解： Rl(0)(kr)?Bljl(kr)?Clnl(kr)

U(r)?0，入射粒子可到达r?0处，要求