小初高试卷教案类
§6.3 等比数列及其前n项和
考纲展示?
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
考点1 等比数列的判定与证明
1.等比数列的有关概念 (1)定义：
如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为
an＋1
＝q. an(2)等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么________叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?________.
答案：(1)2 同一个常数 公比 (2)G G＝ab 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________.
，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a1－qna1－anq＝，q≠1.?1－q?1－q答案：(1)a1qn－1
2
(2)na1
[典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且
an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． K12小学初中高中
小初高试卷教案类
(1)[证明] ∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴
an＋1－11
＝，∴{an－1}是等比数列． an－12
1
又a1＋a1＝1，∴a1＝，又cn＝an－1，
21
∴c1＝a1－1＝－. 2
11
∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．
22(2)[解] 由(1)可知，
cn＝?－?·??n－1＝－??n， 222
?1??1??????1???
?1?n∴an＝cn＋1＝1－??.
?2?
∴当n≥2时，
bn＝an－an－1＝1－??n－?1－??n－1?
22
?1???
??
?1?????
?1?n－1?1?n?1?n＝??－??＝??. ?2??2??2?
1
又b1＝a1＝，代入上式也符合，
2
?1?n∴bn＝??.
?2?
[点石成金] 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若
an＋1an**
＝q(q为非零常数，n∈N)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N)，则anan－1
数列{an}是等比数列．
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an＋1＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·q则数列{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·q－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选K12小学初中高中
nn－1
2
*
(c，q均是不为0的常数，n∈N)，
*
小初高试卷教案类 择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得
a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又?
?Sn＋1＝4an＋2，①?
??Sn＝4an－1＋2，②
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知，bn＝an＋1－2an＝3·2∴
n－1
，
an＋1an3
2
n＋1
－n＝，
24
?an?13
故?n?是首项为，公差为的等差数列．
24?2?
an133n－1
∴n＝＋(n－1)·＝， 2244
化简，得an＝(3n－1)·2
n－2
.
考点2 等比数列的基本运算
(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.
答案：3×2
n－3
解析：设等比数列{an}的公比为q，则
K12小学初中高中
【配套K12】课标通用2024年高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理
