广义Black-Scholes方程数值方法分析
丁会敏 （六盘水师范学院数学系，贵州六盘水553001）
【摘 要】摘 要：Black-Scholes方程作为描述期权定价最有效的方程之一，其求解问题一直是人们关注的焦点。自20世纪70年代以来，涌现出了大量求解这一偏微分方程的方法。Abraham J .Arenas等人就利用非标准的有限差分格式求解出了广义Black-Scholes方程，在此基础上，利用精确的线性差分格式和空间导数的近似，得到了广义Black-Scholes方程的近似解。同时，又将该方法推广到了求解非齐次的Black-Scholes方程的数值解问题，并得到与广义Black-Scholes方程类似的近似解。 【期刊名称】六盘水师范学院学报 【年(卷),期】2016(028)001 【总页数】4
【关键词】Black-Scholes方程；有限差分；数值解；近似解
Abstrraacctt::Black - Scholes equation is one of the most effective equation describing option pricing, and the solving problem is always the focus of people's attention.Since the 1970s, emerged a large number of methods for solving the differential equation of flops. Abraham J.Arenas and others have used nonstandard finite difference scheme to solve the generalized Black - Scholes equation. On this basis, we use the precision linear difference format and spatial derivative approximation to get the approximate solution of the generalized Black - Scholes equation. At the same time, this method has been generalized
to find the numerical solution of the nonhomogeneous Black - Scholes equation, and we get the approximate solution which is similar to that of the generalized Black - Scholes equation.
Key worrddss:: Black-Scholes equation; finite difference; numerical solution; the approximate solutions
近年来，随着经济的迅速发展，期权已经成为了最受欢迎的金融衍生工具之一。金融市场中，期权有诸多形式，包括欧式看跌和看涨期权、美式看跌和看涨期权。其中欧式期权只能在到期日执行，而美式期权较为灵活，可以在到期日之前的任意时期执行。自1973年有学者提出著名的Black-Scholes期权定价公式（Black.F等，1973）以来，期权定价理论的最新革命开始。关于Black-Scholes方程的数值解法也层出不穷，但其主要思路都是通过适当的买进或卖出标的资产来对冲潜在的风险。Black-Scholes公式是一个随机微分方程，因此也吸引了大批概率论和随机方法方面的专家的关注。但Black-Scholes方程中期权价格是随时间变化的，由于其最初的一些假设与现实不相符合，所以后来人们对其方程进行了一系列的改进（关莉等，2001）。
基于对资产市场中价格冲击是如何影响欧式期权的研究，有学者在假定利率r＞0和波动率σ＞0都为常数的情况下，于2005年得到的一种新型的非线性Black-Scholes方程(H. Liu等，2005)。自此之后，众多学者也对这种新型Black-Scholes方程的数值解做了详细的研究（R. Company等，2010；Abraham J.Arenas等，2011）。这些方法都是通过构建单调数值函数以确保得到非负的数值解，并避免给某些离散型的参数带来不适当的振荡。
以上方法曾被用来求解广义Black-Scholes方程，但未应用于求解非齐次的
Black-Scholes方程。经研究发现该方法同样也适用于非齐次的Black-Scholes方程。通过在非标准差分的基础上构建一个数值方案，以此来求解广义Black-Scholes方程的数值解。这种方法已经应用在许多科学领域，包括生物学和流行病模型。本文对利用非标准的有限差分格式所得到的广义Black-Scholes方程的数值解进行分析（Abraham J.Arenas等，2011），并进一步将该方法推广到求解非齐次Black-Scholes方程。
1 Black-Scholes方程的模型简介
首先，我们讨论下列广义Black-Scholes方程：
其中S是标的资产，υ是期权价格，T是到期日。这里的λ(S ,t )是交易时对冲策略中的价格影响因子，它满足文献[5 ]中定理1的条件。
该方程是在利率和波动率恒定的情况下得到的(H. Liu等，2005)，作者也证明了在给定支付函数的基础上，该广义Black-Scholes模型的解是存在的且是唯一的。
现令并令其中和分别是资产价格的最低和最高值。因此定义区间变为原方程可化为：
其中利率r＞0，波动率σ＞0，λ(S,τ)是关于S的一个函数：
2 线性Black-Scholes方程的近似解
然后，我们考虑线性Black-Scholes方程：
根据文献利用特征值的方法很容易求得式（3）的解为：
接下来将解（4）在处进行非标准差分（F. John，1991），可得到如下结果： 现令则上式可化为
公式（5）的左端可以近似看成是特征倒数：
广义Black-Scholes方程数值方法分析
