2019年全国高考新课标1卷理科数学试题（解析版）[杨顺国]

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x11. 由于

f(x1)-f(x2)1lnx1-lnx2lnx1-lnx2-2lnx2

= - -1+a= -2+ a=-2+ a，

x1-x2 x1x2 x1-x2 x1-x21

-x2x2f(x1)-f(x2)1

x1-x2x2

2

所以

1

设函数g(x)= - x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，

x又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)<0. 1f(x1)-f(x2)所以–x2+2lnx2<0，即

x2x1-x2

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

2

线C2的极坐标方程为ρ+2ρcosθ-3=0. （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

22

解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)+y=4．

（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2． 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

|-k+2|4

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2=2，故k= - 或k=0．

3k+14

经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= - 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以

|k+2|

4

=2，故k=0或k=- ． 2

3k+1

4

经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= 时，l2与C2没有公共点．

34

综上，所求C1的方程为y= - |x|+2．

3

23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

?-2 x<-1 2x -1≤x≤11

解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)= ? 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)．

2 x>12?

（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；

22

若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]．

aa综上，a的取值范围为(0,2]．

第 6 页 共 7 页

第 7 页 共 7 页