2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设z=
1-i
+2i,则|z|= 1+i
1
A.0 B. C.1 D.2
21-i
解析:选C z=+2i=-i+2i=i
1+i
2.已知集合A={x|x-x-2>0},则?RA =
A.{x|-1
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
2
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析:选A
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=
A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:选 ∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d) a1=2 ∴d=-3 a5=-10
32
5.设函数f(x)=x+(a-1)x+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
32
解析:选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x+x f′(x)=3x+1 f′(0)=1 故选D 6.在ΔABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则→EB= 31A.→AB - →AC
44
13
B. →AB - →AC
44
31
C.→AB + →AC
44
13
D. →AB + →AC
44
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1→→1111→→3→1→解析:选A 结合图形,→EB=- (BA+BD)=- →BA-→BC=- →BA-(AC-AB)=AB - AC
2242444
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为
A.217 B.25 C.3 解析:选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
D.2
22
8.设抛物线C:y=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则→FM·→FN=
3A.5
B.6
C.7
D.8
2→=(3,4) 解析:选D F(1,0),MN方程为y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则→FM=(0,2),FN3∴→FM·→FN=8
?e, x≤0?9.已知函数f(x)= ?
??lnx,x>0
x
,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是
A.[–1,0) B.[0,+∞) C.[–1,+∞) D.[1,+∞)
解析:选C g(x)=0即f(x)=-x-a,即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点,结合y=f(x)图象可知-a<1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则
A.p1=p2 C.p2=p3
B.p1=p3 D.p1=p2+p3
13115
解析:选A ∵AC=3,AB=4,∴BC=5,∴AC=,AB=2 , BC= 22222
1321225
∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×()+×π×2=π
2228
152125∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×()- ×3×4=π-6;
22282525
∴两个月牙形(图中阴影部分)的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积
88∴p1=p2
x2
11.已知双曲线C: - y =1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别
3为M、N.若ΔOMN为直角三角形,则|MN|=
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2
3A. 2
B.3 C.23 D.4
解析:选B 依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±
3
x,MN的斜率为3,方程为y=3(x-2),联立方程组解得3
33
M(,- ),N(3, 3),∴|MN|=3 22
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为
3323323
B. C. D. 4342
解析:选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时,面积最大 A.
232233,其面积为6××()= 2424
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 此时正六边形的边长为??x-2y-2≤0
13.若x,y满足约束条件?x-y+1≥0 , 则z=3z+2y的最大值为_____________.
? y≤0 ?
解析:答案为6
14.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an+1,则S6=_____________.
n-1
解析:a1=-1,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1,an=-2,S6=2a6+1=-64+1=-63 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)
33
解析:合条件的选法有C6-C4=16
16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是_____________.
解析:由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的最小值。 2∵ f′(x)=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1), 1π5π令f′(x)=0可解得cosx=或cosx=-1, 可得此时x=,π或; 233π5π∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=,π或和边界点x=0中取到, 33π335π3333计算可得f()=,f(π)=0,f()=-,f(0)=0, ∴函数的最小值为- 32322三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60分。 17.(12分)
00
在平面四边形ABCD中,∠ADC=90,∠A=45,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=22,求BC.
BDAB2
解:(1)在ΔABD中,由正弦定理得=.由题设知,sin∠ADB=.
sinAsin∠ADB5
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由题设知,∠ADB <90,所以cos∠ADB =
0
23. 5
2. 5
222
在ΔBCD中,由余弦定理得BC=BD+DC-2BD·DC·cos∠BDC=25 所以BC=5. 18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把ΔDFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC= sin∠ADB=
解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF. 又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
→|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 以H为坐标原点,→HF的方向为y轴正方向,|BF由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 可得PH=则H(0,0,0),P(0,0,
33→=(1, 3,3), ),D(-1,- ,0 ), DP2222
33
,EH=. 22
3→HP=(0,0, )为平面ABFD的法向量.
2
→DP·→HP3
设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=||=.
→|·|HP→|4| DP所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19.(12分)
x2
设椭圆C: + y =1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
2(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1. 由已知可得,点A的坐标为(1, 所以AM的方程为y= -
22
)或(1,- ). 22
2
3
. 4
22
x+2或y= x-2. 22
0
(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB =0.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
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y1y2
则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=+. x1-2x2-22kx1x2-3k(x1+x2)+4k
由y1=kx1-k, y2=kx2-k得kMA+kMB=
(x1-2)( x2-2)
x4k2k-222222
将y=k(x-1)代入 + y =1得(2k+1)x-4kx+2k-2=0 所以,x1+x2=, x1x2=. 22
2 2k+1 2k+14k-4k-12k+8k+4k
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k ==0 2 2k+1
从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.学.科网 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
2218
解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C20p(1-p).
218217217
因此f′(p)= C20[2p(1-p)-18p(1-p)]=2 C20p(1-p)(1-10p)
令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. 21.(12分) 1
已知函数f(x)= - x+alnx.
x(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
f(x1)-f(x2)
x1-x2 2 3 3 3 2 2 2 1ax-ax+1 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= - 2-1+=- . 2 xxx (i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. a-a-4a+a-4 (ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=或x=. 22 a-a-4a+a-4 当x∈(0, )∪(,+∞)时,f′(x)<0; 22a-a-4a+a-4 当x∈(,)时,f′(x)>0. 22 a-a-4a+a-4a-a-4a+a-4 所以f(x)在(0, )、(,+∞)单调递减,在(,)单调递增. 2222 (2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 第 5 页 共 7 页 2 2 2 2 222 2 2 2
2019年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)[杨顺国]
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