傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。而拉 普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。所 以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有 一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是
Z变化就提了出来。
傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。主要用于信号处 理。
拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。
z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。
第四章 Z变换
1 Z变换的定 义
(1) 序列 的ZT：
(2) 复变函数 的IZT： ， 是复变量。
(3) 称 与 为一对Z变换对。简记为 或
(4) 序列的ZT是 的幂级数。 代表了时延， 是单位时延。
(5) 单边ZT：
(6) 双边ZT：
2 ZT收敛域 ROC
定义：使给定序列 的Z变换 中的求和级数收敛的z的集合。
收敛的充要条件是它
(3) 有限长序列的ROC
序列 在 或 (其中 )时 。
收敛域至少是 。
序列的左右端点只会影响其在0和 处的收敛情况：
当 时，收敛域为 ( 除外)
当 时，收敛域为 ( 除外)
当 时，收敛域为 ( 除外)
右边序列的ROC
序列 在 时 。
如果 ，则序列为因果序列。
ROC的情况：
当 时，ROC为 ；
当 时，ROC为 。
左边序列的ROC
序列 在 时 。
如果 ，则序列为反因果序列。
ROC的情况：
当 时，ROC为 ；
当 时，ROC为 。
双边序列的ROC
序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是
如果 存在且 ，则双边序列的ROC为 ，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
注意：
求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；
实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平 面上的某个圆外面的区域。
关于极点与ROC关系的一些结论：
一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通 的。
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别
