（2）由图解7-13可见，当?1N(A)和G(j?)相交时，系统一定会自振。由自振条件
N(A)G(j?)??1? (A?6)K?2A?4
A?6?K?(A?6)K????1 A?222(A?2)6K?4??A?解出 ?2?K????12(?K?2) 3 h?1。
7-14 具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43（a）所示，其中M?1,（1） 当T?0.5时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数； （2） 讨论T对自振的影响。
图7-43 非线性系统结构图及自振分析
解 具有滞环继电特性的描述函数为
N(A)?代入M?1,4Mh4hM1?()2?j,?AA?A2A?h
h?1，有
N(A)?4141?()2?j2 ?AA?A111?AA?????N(A)411114(1?()2?j)(1?()2?j)AAAA?A(1?()2?j)A2?1?j?4
其负倒描述函数?1N(A)曲线如题7-43（b）所示，G(j?)曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自振点。
5(Ts?1)s255T G(j?)??2?jG(s)???G(j?)??根据虚部相等，有
1N(A)?j5T???j???4 20T?自振角频率随T增大而增大，当T?0.5时，??3.18。
根据实部相等，有
?(解出非线性输入端振幅为
520T??)2?4A2?1
?A??2400T4?1
当T?0.5时，A?1.18。自振振幅随T增大而减小。
7-15 非线性系统如图7-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。
解 将系统结构图等效变换为图解7-15。
G(j?)?10?1010 ?2?jj?(j??1)??1?(?2?1)244?0.2?0.2? N(A)? 1???j?2?A?A?A?2?40.20.2? ?? ??1?????j?A?AA?????
?1??A?N(A)412?0.2?1????jA?A???A0.2? ?0.2??1???j?4A?A?0.22令G(j?)与?1N(A)的实部、虚部分别相等得
10?A?0.2?
?1???A?2?14?? 两式联立求解得
由图7-44，r(t)?0时，有c(t)??e(t)?2100.2???0.157 2?(??1)4??3.91,A?0.806。
10.806 x(t)，所以c(t)的振幅为?0.161。
557-16 用描述函数法分析图7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振频率（M?h）。
图7-45 非线性系统结构图
解 因为M?h，所以当x??c?0时N1(A)环节输出为M?h，N2(A)环节输出也为M?h。同样N3(A)输出也是M；当x?0时情况类似。所以实际上N2(A)和N3(A)不起作用，系统可等效为如图解7-16（a）的形式。
画出?1N(A)和G(j?)曲线如图解7-16（b）所示。可见系统一定自振。由自振条件
N1(A)?G(j?)??1
即
4M10???1 ?Aj?(1?j?)(2?j?)40M??j?(1?j?)(2?j?)?3?2?j?(2??2)?A?40M?3?2?比较实部、虚部有 ??A ??(2??2)?0?解出 ??A?2.12M???2
图解7-16 7-17 试用描述函数法说明图7-46所示系统必然存在自振，并确定输出信号c的自振振幅和频率，分别画出信号c、x、y的稳态波形。
解
N(A)?4,?A?1??A ?N(A)4 图7-46 非线性系统结构图 绘出?1N(A)和G(j?)曲线如图解7-17(a)所示，可见D点是自振点，系统一定会自振。由自振条件可得
N(A)??1
G(j?)4?j?(j??2)2?4?2j?(4??2) 即 ?????A101010令虚部为零解出?=2，代入实部得A=。则输出信号的自振幅值为：
Ac?A2?0.398。
画出c、x、y点的信号波形如图解7-17(b)所示。
自动控制原理考试试题第七章习题及答案
