解7-8（a）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。
Ⅱ区：系统的微分方程为
???Te?e?KM?0设一般情况下，初始条件为e(0)?e0,(e?a)
??e(0)?e0。则上式的解为
?tT??e(t)?e0?(e?KM)T?(e?KM)Te?KMt 00对上式求一次导数，得
?tT??e(t)?(e?KM)e?KM 0故当初始条件e'0??KM时，相轨迹方程为e'??KM。
??当e'0??KM时，相轨迹方程为e?e0?(e0?e)T?KMTln?e?KM
?e0?KM?由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8(b)所示，相轨迹渐进于直线e??KM。
Ⅲ区：此时系统的微分方程为
???Te?e?KM?0??KM?e??e?KM???e?e?(e?e)T?KMTln00??e0?KM?该区的相轨迹如图解7-8（b）所示。
(e??a)
?(e0?KM)?(e0?KM)
将Ⅱ区相轨迹方程中的KM改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程
将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（c）所示。 假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为
?e(0)?R,e(0)?0。此时的系统的相平面图如图解7-8（d）所示。由图可知，系统在阶
跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。
图解7-8 非线性系统的相平面图
7-9 试推导非线性特性 y?x3 的描述函数。 解 y(t)?A3sin3?t
B1????12?0Asin?t?d?t?344A3???201(1?cos2?t)2?d?t4
?A3???A322?(1?2cos2?t?cos2?t)?d?t???sin2?t?0????0??2??2A3
?A3???20cos4?t?1?d?t 2?A3A3??0?22??20A3cos4?t?d?t?2???203A3d?t?4
B1A13A2 N(A)??j?AA4
7-10 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为
1
s(0.1s?1)2 (2) G(s)?
s(s?1)2(1.5s?1) (3) G(s)?
s(s?1)(0.1s?1) (1) G(s)?试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高
解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。
由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。
7-11 将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。
图7-40 非线性系统结构图
解 (a) 将系统结构图等效变换为图解7-11（a）的形式。 G(s)?G1(s)[1?H1(s)]
(b) 将系统结构图等效变换为图解7-11(b)的形式。 G(s)?H1(s)G1(s)
1?G1(s)7-12 判断题7-41图中各系统是否稳定；?1N(A)与G(j?)两曲线交点是否为自振点。
题7-41图 自振分析
解 （a） 不是
（b） 是 （c） 是
（d） a、c点是，b点不是 （e） 是
（f） a点不是，b点是 （g） a点不是，b点是 （h） 系统不稳定
（i） 系统不稳定 （j） 系统稳定
7-13 已知非线性系统的结构图如图7－42所示
图7-42 7-13题图
图中非线性环节的描述函数为
N(A)?试用描述函数法确定：
A?6A?2(A?0)
（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1）
?1?(A?2) ?N(A)A?6?1?1?1?,??1 N(0)3N(?)dN(A)?4??0 2dA(A?2)N(A)单调降，?1N(A)也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线?1N(A)和G(j?)曲线如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 Im[G(j?)]?0 的?值：
令 ?G(j?)??90??2arctg???180? 得 arctg??45?,令 G(j?)??1???1
K2
??1??2?11K?????32?1???23 K3?2K1? 可得出K值与系统特性之间的关系：
自动控制原理考试试题第七章习题及答案
