第三章 导数及其应用综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
π
1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小
2关系为( )
A．k1>k2 B．k1 [答案] A [解析] y＝sinx，y′＝cosx， ∴k＝cos0＝1，kπ 12＝cos2 ＝0， k1>k2. 2．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为( ) A．4 B．－4 C．1 D．－1 [答案] B [解析] y′＝(xα)′＝αxα－1 ， 由条件知，y′|x＝1＝α＝－4. 3．若曲线f(x)＝x4 －x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,0) D．(－1,0) [答案] C [解析] 设P(x3 0，y0)，f ′(x)＝4x－1， 由题意得f ′(x0)＝3， ∴4x3 0－1＝3，∴x0＝1. ∴y40＝x0－x0＝0，故选C． 4．函数f(x)＝x－lnx的递增区间为( ) A．(－∞，1) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [答案] C [解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝1－1，令f ′(x)>0，即1－1 xx>0， ) 1 ∴<1，∴x>1，故选C． x5.若函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) A．f(x)＝x－2x 132 C．f(x)＝x＋x3[答案] C [解析] 由题可知f ′(x)为二次函数，故排除A，B，且f ′(x)的两根分别为－2,0，1322 又f(x)＝x＋x的导数为f ′(x)＝x＋2x的两根为－2,0，故选C． 3 6．(2015·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x＋ax＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( ) A．2 C．4 [答案] D [解析] f ′(x)＝3x＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5. 7．三次函数f(x)＝mx－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( ) A．m<0 C．m≤0 [答案] C [解析] f ′(x)＝3mx－1，由题意知3mx－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立； 当m≠0时，由题意得m<0， 综上可知m≤0. 8．已知抛物线y＝－2x＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( ) A．20 C．－2 [答案] C [解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b， B．9 D．2 22 2 32 3 2 2 B．f(x)＝x＋2x D．f(x)＝x－x 3 2 2 B．3 D．5 B．m<1 D．m≤1 ∴－4×2＋b＝1，∴b＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C． 9．如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) π A．(0，] 3π2πC．(，] 23[答案] B [解析] 由题意可设f ′(x)＝a(x－1)＋3，(a>0)，即函数切线的斜率为k＝f ′(x)ππ2 ＝a(x－1)＋3≥3，即tanα≥3，所以≤α<，选B． 32 10．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A．y＝x＋6x＋9x B．y＝x－6x＋9x C．y＝x－6x－9x D．y＝x＋6x－9x [答案] B [解析] 设函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)， ∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax＋2bx＋c， 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 ππB．[，) 32π D．[，π) 3 f ′1＝0?? 由题意得，?f ′3＝0 ??f1＝4a＝1?? 解得?b＝－6 ??c＝9 3 3a＋2b＋c＝0?? ，即?27a＋6b＋c＝0 ??a＋b＋c＝4 ， 2 ， ∴f(x)＝x－6x＋9x，故应选B． 11.(2015·安徽文)函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) 3 2 A．a>0，b<0，c>0，d>0 C．a<0，b<0，c>0，d>0 [答案] A [解析] f ′(x)＝3ax＋2bx＋c，由y＝f(x)在(－∞，x1)上单调递增，(x1，x2)上单2bx＋x＝－>0??3a调递减，在(x，＋∞)上单调递增知a>0.x>0，x>0，则?cx·x＝>0??3a1 2 2 1 2 1 2 2 B．a>0，b<0，c<0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0 ， ??b<0 所以? ??c>0 ， 又因为f(0)＝d>0，所以本题应选A． 12．若关于x的不等式x－3x－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是( ) A．(－∞，7] C．(－∞，0] [答案] B [解析] 令f(x)＝x－3x－9x＋2，则f ′(x)＝3x－6x－9，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)． ∵f(－1)＝7，f(－2)＝0， 3 2 2 3 2 B．(－∞，－20] D．[－12,7] f(2)＝－20. ∴f(x)的最小值为f(2)＝－20， 故m≤－20，综上可知应选B． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．f(x)＝ax－2x－3，若f ′(1)＝5，则a等于__________ ________. [答案] 3 [解析] ∵f ′(x)＝3ax－4x， ∴f ′(1)＝3a－4＝5，∴a＝3. 1312 14．已知函数f(x)＝x－x＋cx＋d有极值，则c的取值范围为__________ ________. 321 [答案] c< 4 2 3 2 [解析] ∵f ′(x)＝x－x＋c且f(x)有极值， ∴f ′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0. 1 解得c<. 4 15．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为__________ ________. [答案] －1 1 [解析] f ′(x)＝－1，令f ′(x)＝0，即x＝1. 2 x当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f ′(x) f(x) (0,1) ＋ 单调递增 1 0 极大值－1 (1，e) － 单调递减 e 1－e 由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1. 16．设a∈R，若函数y＝e＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__________ ________. [答案] a<－1 [解析] ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a. 当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0. 由e＋a＝0，得e＝－a，∴x＝ln(－a)． ∴x＝ln(－a)即为函数的极值点． ∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1. ∴a<－1. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝x＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f ′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)． [解析] 由f(2x＋1)＝4g(x)， 得4x＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x＋4cx＋4d. ??a＋2＝2c， ①于是有? ??a＋b＋1＝4d， ② 2 22 2 xxxxx ③ 由f ′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c， 由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④ 由①③可得a＝c＝2，由④得b＝－5， 112 再由②得d＝－，∴g(x)＝x＋2x－. 22
高中数学 第三章 导数及其应用综合素质检测 新人教A版选修11
