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第六章气体动理论
6－1一容积为10L的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子?
解：由式p
nkT，有pkT
1.010
2
n
1.01310/760
23
5
1.3810573
1.6810个/m
203
因而器壁原来吸附的气体分子数为
NnV1.6810
20
1010
5
3
18
1.6810个
6－2一容器内储有氧气，其压强为1.0110 Pa，温度为27℃，求：（l）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列）
分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。等距排列的，故每个分子占有的体积为
解：（l）单位体积分子数
V0
3
因此，可由理想气体的物态又因可将分子看成是均匀
由数密度的含意可知d，V01n,d即可求出。
n
（2）氧气的密度
pkT2.4410m
253
mV
（3）氧气分子的平均平动动能
k
pMRT1.30kgm
3
3kT26.2110
21
J
（4）氧气分子的平均距离
d
3
1n3.4510
9
m
6－3本题图中I、II两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。
分析：由vp
最概然速率所标vp
2RT/M可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的
vp也就不同。因M
3
1
H2
MO2，故氢气比氧气的
vp要大，由此可判定图中曲线
II
2.010ms应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温
I、II所处的温度相同，故曲线
I中氧气的最概然速率也可按上式求得。
度。又因曲线
解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为精品文档
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(vP)H
2
2RT/MH
2
2.010ms
31
利用M
O2
/M
H2
16可得氧气分子最概然速率为
(vP)O
2
2RT/MO
2
(vP)H
2
45.010ms
21
（2）由vp2RT/M得气体温度
习题6－3图
TvM/2R
2p
4.8110K
2
6－4有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如本题图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N和v0求a值；（3）求在速率v0/2到3v0/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能.
分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数题中纵坐标Nf(v)
fv的物理意义。
f(v)dN/Ndv
dN/dv，即处于速率v附近单位速率
f(v)的归一化条件，即
习题6－4图
区间内的分子数。同时要掌握
0
f(v)dv1。在此基础上，根据分布函数并运用数学方
，即可求解本题。
法（如函数求平均值或极值等）
解：（l）由于分子所允许的速率在面积
0到2v0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的
S
即曲线下面积表示系统分子总数（2）从图中可知，在则利用归一化条件有
2v00
NfvdvN
N。
0到v0区间内，Nf(v)
Nf(v)av/v0；而在v0
0到2v区间内，
a。
N
得
v00
av
dvv0
2v0v0
adv
a
（3）速率在v0/2到3v0/2间隔内的分子数为
2N/3v0
N
(4)分子速率平方的平均值按定义为
v0v0/2
avv0
dv
3v0/2v0
adv7N/12
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2
0
2
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2
v
故分子的平均平动动能为
vdN/N
0
vf(v)dv
1
K
2
mv
2
12
v0
m(
0
aNv0
2v0
vdv
v0
3
aN
vdv)
2
3136
mv
20
6－5当氢气的温度为300℃时，求速率在区间速率在区间vp到vp+10m/s之间的分子数ΔN2之比。
解：氢气在温度
3000m/s到3010m/s之间的分子数ΔN1与
T=273+300=573开时的最可几速率
vp为
vp
2RTM
2×8.31×573
0.002
2182米/秒
麦克斯韦速度分布公式可改写为
NN
4
xe
2
x2
x
则速度在3000米/秒~3010米/秒间的分子数
N1
N
43000
23000
2
π2182
e
2182
102182
2
速度在vp ~ vp10米/秒间的分子数
N2
N
42182
2
2182
π218230002182
2
e
2182
102182
故
N1N2
e
3000
2
0.78
e
6－6
有N个粒子，其速率分布函数为
2182
f(v)f(v)
(1)作速率分布曲线；（解：（2）由归一化式
dNNdv0
C
(v0>v>0) (v>v0)
2）求常数C；（3）求粒子的平均速率。
v0
f(v)dv
0
0
Cdv
Cv0
1
得
C
1v0
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v0
（3）
v
0
vf(v)dv
0
vCdv
v02
6－7 根据麦克斯韦速率分布律证明：处于平均速率附近一固定小速率区间内的分子数与
T成反比。
8RTm
解：由
v则速率分布函数可化为
3
2
f(v)4
m2RT
2
mv
2
e
2RT
v
2
32
2
4v
v
3
e
v
v
2
速率在vv
△ｖ区间内分子数
N为
NNf(v)v
32N
2
4
v
1
ev
可见：
Nv
1
(T)
1
6－8一密封房间的体积为5×3×3m3，室温为20℃，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少？如果气体温度升高1.0K，而体积不变,则气体的内能变化多少？气体分子方均根速率增加多少？（已知空气的密度=1.29Kg/m3，摩尔质量M =29×103Kg / mol，且空气分子可认为是刚性双原子分子。）
解：根据
12
∴N
mv12
32
2
32
2
KT,32NKT
32
RTMmolρＶ=7.31×10J.
4
mv
N
12
mv
2
32
M
RTNm
1
mol
NAm =MMmolRT=
1
mol
6
△E=Mv
212
2
12
iR△R△T =ρＶM
2
iR△R△T =4.16×10
J
v2
2
v1
2
12
=3RMmol
12
T2T1=0.856ms
6－9在容积为2.010-3 m3的容器中，有内能为6.75102 J的刚性双原子分子理想气体。
（1）求气体的压强；（2）设分子总数为5.41022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：（1）由E
mi
RT和pVM2
mM
RT可得气体压强
p
（2）分子数密度
2E/iV1.3510Pa
5
n=N/V为，则该气体的温度
TpnkpV（/Nk）3.6210K
2
气体分子的平均平动动能为精品文档
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k
3kT27.4910
v
21
J
2gR，其中R为地球半径。（1）
（2）
6－10质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为
若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取R= 6.40106 m）分析：气体分子热运动的平均速率
v
8RT/M。对于摩尔质量
M不同的气体分子，为使
M较小的就容
v等于逃逸速率
易达到逃逸速率。
v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量
解：（1）由题意逃逸速率有
v2gr，而分子热运动的平均速率v
8RT/M。当vv时，
T
由于氢气的摩尔质量
M2
v8R
3
Mrg4R
1
M
氧气的摩尔质量
H2
2.010kgmol
，
MO
2
3.210
2
kgmol
1
则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为
TH21.1810K,TO2
4
1.8910K
4倍），因此
5
（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为
达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高
温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。
6－11
讨论气体分子的平动动能
12
mv的分布函数，归一化条件，及求任意函数
2
g()的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几
动能。
解：在动能空间中取一小区间
d，小区间内分子数dNN
f()d
dN占总分子数N之比为
其中f()为分子动能分布函数，它满足归一化条件：
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大学物理答案第6章
