一、选择题
1.已知函数f(x)?x2?alnx,a?0,若曲线y?f(x)在点(1,1)处的切线是曲线
y?f(x)的所有切线中斜率最小的,则a?( )
A.
1 2B.1
2C.2
D.2
ex?ex2.已知函数f(x)??x?8x?5,g(x)?,实数m,n满足m?n?0,若
ex?x1??m,n?,?x2??0,???,使得f?x1??g?x2?成立,则n?m的最大值为( )
A.7
B.6
C.25 D.23 3.若幂函数f(x)的图象过点??A.?0,2? C.??2,0?
?21?f(x),?g(x)?,则函数的递减区间为( ) x?e?22?B.???,0?和?2,??? D.???,0?4.已知函数f?x?与f??x?的图象如图所示,则函数g?x?底数)的单调递减区间为( )
?2,???
f?x?(其中e为自然对数的?ex
A.?0,4?
?4??4???,1?,4??? C.?0,? B.??3??3?D.?0,1?,?4,???
5.已知变量x1,x2??0,m??m?0?,且x1?x2,若x1x2?x2x1恒成立,则m的最大值为(e?2.71828A.e
为自然对数的底数)( )
B.e C.
1 eD.1
6.对任意的0?a?b?t,都有blna?alnb,则t的最大值为( ) A.1
B.e
C.e2
D.
1 e7.设f?x?是定义在???,0???0,???上的函数,f??x?为其导函数,已知
f?1?2x??f?2x?1?,f??2??0,当x?0时,?xf??x??f?x?,则使得f?x??0成立的x的取值范围是( )
A.??2,0??0,2?
C.???,?2??0,2?
A.-4
B.4
B.???,?2?D.?0,2??x?0?2,???
?2,???
D.36
8.已知函数f(x)在x=x0处的导数为12,则limf(x0??x)?f(x0)?( )
3?xC.-36
??x2?2x,x?09.已知函数f(x)??,若|f(x)|?ax,则a的取值范围是( )
?ln(x?1),x?0A.(??,0] B.(??,1] C.[?2,1] D.[?2,0]
x210.设函数f(x)=-aln x,若f′(2)=3,则实数a的值为( )
4A.4 B.-4 C.2 D.-2
11.函数f(x)=x﹣g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=﹣x﹣1,则g(2)+g'(2)=( ) A.7
B.4
C.0
D.﹣4
1?x?e,e为自然对数的底数)与g(x)?ex的图象上存在e关于直线y?x对称的点,则实数a的取值范围是( )
12.已知函数f(x)?x2?ax(
1??1,e?A.?
e???1??B.?1,e??
e??11??C.?e?,e??
ee??1??D.?e?,e?
e??二、填空题
13.点P?x,y?是曲线C:y?1?x?0?上的一个动点,曲线C在点P处的切线与x轴、xy轴分别交于A,B两点,点O是坐标原点,①PA?PB;②OAB的面积为定值;
③曲线C上存在两点M,N使得OMN是等边三角形;④曲线C上存在两点M,N使得OMN是等腰直角三角形,其中真命题的序号是______.
14.a???22(2?x2?sinx)dx,f(x)?xsinx?cosx,(0?x?a),则f(x)的最大值为_____________.
15.已知抛物线y?ax2?bx?c过点?1,1?,且在点?2,?1?处与直线y?x?3相切,则
a?__________,b?____________,c?_________________.
16.若f?x???________.
17.已知函数f(x)?2x3?6x2?m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3,那么在区间[-2,2]上,当x=_______时,f(x)取得最小值。
12x?bln?x?2?在??1,???上是减函数,则b的取值范围是218.已知函数(a≤0),函数
,则实数的取值范围为___.
,若不存在,使
19.在二维空间中,正方形的一维测度(周长)长),三维测度(体积)
,则其四维测度
20.已知f?x??xlnx?(为正方形的边长),二维测度
(为正方形的边
(面积);在三维空间中,正方体的二维测度(表面积)
__________.
;应用合情推理,在四维空间中,“超立方”的三维测度
f'?1?x2,则f'?1??__________.
三、解答题
21.设函数f?x??e?ax?x?1,a?R.
x(1)a?0时,求f?x?的最小值.
(2)若f?x??0在?0,???恒成立,求a的取值范围.
22.已知函数f?x??ax?x?bx(其中常数a,b?R)分别在x?0处和x?2处取得极值.
32(1)若f?x?在区间?m,m?1?上单调递增,求实数m的取值范围.
x?x2(2)证明:对一切x?0,不等式e?e?x?2xf(x)恒成立.
23.设函数f?x??xlnx. (1)设g?x??f??x?,求g?x?的极值点; x(2)若x2?x1?0时,总有围.
m22x2?x1??f?x2??f?x1?恒成立,求实数m的取值范?224.已知函数f(x)?x3?3x2.
(1)求f(x)在点P(?1,?4)处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)的定义域为[?1,m]时,值域为[?4,0],求m的最大值. 25.已知函数f(x)?132a?12ax?x?3x, 32(1)当a?2时,求函数f(x)的单调区间与极值;
(2)是否存在正实数a,使得函数f(x)在区间[?1,1]上为减函数?若存在,请求a的取值范围;若不存在,请说明理由. 26.已知函数f(x)?a?x???1???lnx. x?(1)若a?1,求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
北京师范大学第二附属中学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测卷(答案解析)
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