* *
【解】 变形能 U?11112225?ky?y??ky?y?ky2 22223372荷载势能UP??FP?，其中
???3l()2??2l()2? 总势能EP?U?UP
由
12y3l12y2l52y 12ldEP255?0及y?0得k?FP?0 dy7212l ∴FPcr?5kl 6习题11.7 用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。
FPEI0=∞FPk=4EI/l(抗转动刚度)l/2EIEI
l
FPEI0=∞BFPBl
(1) (2)
EIEIEIlAlAEI
(3) (4)
FPBEIAEIClll
EIDll
* *
(5) 习题11.7图
【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。微分方程为 EIy????M??(FPy?或 y????y??其中 ??该微分方程的通解为
y?Acos?x?Bsin?x?221FP?x) 212??x 2FP EI1?x 2代入边界条件：x?0, y?0; x?l, y?0; x?l, y???? 所得齐次方程中，由A,B,?不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得
tan?l??l?0
FPyxyFP1F2P
习题解11.7（1）图
（2）失稳曲线如习题解11.7（2）图所示。微分方程为
EIy????M??(FPy?k?)
或 y????y? 通解为y?Acos?x?Bsin?x?2Fk?, ?2?P EIEIk?。 FP 代入边界条件：x?0, y?0; x?0, y???; x?l, y??0 由A,B,?不全为零的条件，整理后得
* *
1tan?l??l?0
4kFPyx0yx习题解11.7（2）图
（3）原结构可等效为习题解11.7（3）（a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（3）（b）图所示。微分方程为
EIFPk=123lByyEIEIFPkBA(a)习题解11.7（3）图
A(b)xx
EIy????M??(FPy?k?x)
或 y????y?2Fk?x, ?2?P EIEIk?x FP 通解为 y?Acos?x?Bsin?x? 由边界条件 x?0, y?0; x?l, y??; x?l, y??0 得稳定方程为
(?l)31tan?l??l?3EI??l?(?l)3
kl12 （4）原结构可等效为习题解11.7（4）（a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（4）（b）图所示。微分方程为
* *
FPByFPxyAxk=4EIlk（b） 习题解11.7（4）图
（a）
EIy????M??FPy
y????2y?0, ?2?FP EI 该方程的通解为 y?Acos?x?Bsin?x 由边界条件 x?l, y??; x?l, y??? 得稳定方程为
?ltan?l?4
（5）原结构可等效为习题解11.7（5）（a）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构ACD求出。
FPBM=1A1A1C113EIk= =4l（a）(b) M图 习题解11.7（5）图
D
分析ACD，如习题解11.7（5）（b）图所示。在A点加单位力偶并作M图，图乘得柔度系数为
??则弹性支承的刚度系数为
4l 3EI* *
k?该题的稳定方程为
1??3EI 4l ?ltan?l?kl3? EI4习题11.8 用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数
k?3EI?x，设失稳曲线为y??(1?cos)。 32llFPkyy习题11.8图
xl 【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下 y????2lsinl?x2l，y????24l?cos2?x2l
1213EI2?4EI22 U?k???EI(y??)dx?3???
2202l64l3?2FP212 UP??FP???FP?(y?)dx???
2016l由
ld(U?UP)?0及??0得
d?FPcr?4.9EI l2 习题11.9 求习题11.9图所示结构的临界荷载。已知各杆长为l，EI＝常数。
FPFP
习题11.9图
【解】（1）对称失稳
静力法与能量法计算步骤(试卷后解析)
