2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A?A.
??x,y?x?y?2?,B???x,y?y?x?，则A?B?
2，?? ??11 B.
4?? ???2，C.
，，4?? ???2，??11D. ?
2.已知a?bi?a,b?R?是A. ?1
1?i的共轭复数，则a?b? 1?i11B. ? C.
22D.1
3.设向量a??1,1?,b???1,3?,c??2,1?，且?a??b??c，则?? A.3
10 B.2
C. ?2
D. ?3
?1?44. ??x?的展开式中x的系数是 ?x?A. ?210
B. ?120
C.120
D.210
5.已知三棱锥S?ABC中，?SAB??ABC?锥S?ABC的体积是 A.4
B.6
C. 43
D. 63
?2,SB?4,SC?213,AB?2,BC?6，则三棱
6.已知点A为曲线y?x?小值是 A.3
B.4
42?x?0?上的动点，B为圆?x?2??y2?1上的动点，则AB的最x
C. 32
D. 42
7.设命题p：所有正方形都是平行四边形，则?p为 A.所有正方形都不是平行四边形 C.有的正方形不是平行四边形 8.若a?b?c?1且ac?b，则 A. logab?logbc?logca C. logbc?logab?logca
B. logcb?logbc?logaa D. logba?logcb?logac
2B.有的平行四边形不是正方形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．
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根据该折线图可知，该地区2006年～2018年
A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 10.已知双曲线C过点3,2且渐近线为y????3x，则下列结论正确的是 3x2?y2?1 A.C的方程为3B.C的离心率为3 C.曲线y?eD.直线x?x?2?1经过C的一个焦点
2y?1?0与C有两个公共点
11.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则 A.直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等
12.函数f?x?的定义域为R，且f?x?1?与f?x?2?都为奇函数，则 A. f?x?为奇函数
B. f?x?为周期函数 D. f?x?4?为偶函数
9 8C. f?x?3?为奇函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有__________种.
14.已知cos???????11??43?sin??，则?sin?????__________. ?66?5??215.直线l过抛物线C:y?2px?p?0?的焦点F?1,0?，且与C交于A,B两点，则
p?__________，
11??__________.（本题第一空2分，第二空3分.） AFBF16.半径为2的球面上有A,B,C,D四点，且AB,AC,AD两两垂直，则?ABC，?ACD与?ADB面积之和的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在①b1?b3?a2，②a4?b4，③S5??25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
设等差数列?an?的前n项和Sn,?bn?是等比数列，__________，b1?a5,b2?3，b5??81，是否存在k，使得Sk?Sk?1且Sk?1?Sk?2？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.（12分）
在?ABC中，?A?90，点D在BC边上.在平面ABC内，过D作DF?BC且DF?AC. （1）若D为BC的中点，且?CDF的面积等于?ABC的面积，求?ABC； （2）若?ABC=45，且BD?3CD，求cos?CFB.
19.（12分）
如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形. SA?平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°.
（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线； （2）若EF?1BC，求二面角B?SC?D的余弦值. 2
20.（12分）
下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012~2018年的年份代码x分别为1~7）.
（1）根据散点图分析x与y之间的相关关系；
（2）根据散点图相应数据计算得
?yi?17i?1074，?xiyi?4517，求y关于x的线性回归方程；
i?17（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.
（精确到0.01）
附：回归方程y?a?bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b???xi?1ni?xi??y?y?i??xi?1n?x?2,a?y?bx.
21.（12分）
设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点?1,上一点，PF?x轴，F的半径为PF. （1）求E和F的方程； （2）若直线l:y?kx?3???33?，且离心率为.F为E的右焦点，P为E??22????k?0?与
F交于A,B两点，与E交于C，D两点，其中A，C
在第一象限，是否存在k使AC?BD？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.
22.（12分） 函数f?x??（1）求a；
（2）讨论g?x??xf?x?的单调性；
（3）设a1?1,an?1?f?an?，证明：2n?22lnan?ln7?1.
a?x11?x?0?，曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线在y轴上的截距为. 1?x2??22020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)
数学参考答案
一、单项选择题：
1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、A 7、C 8、B 二、多项选择题：
9、A，D 10、A，C 11、B，C 12、A，B，C 三、填空题： 13、36 14、-四、解答题：
4 15、2；1 16、8 517、解析????根据题意b2?3,b5??81,?bn?是等比数列，b1?a5得a5??1,?b1??1,q??3,?bn??(?3)n?1选①b1?b3?a2时，a2??10,a5??1,?d?3,a1??11k(k?1)329?3?k2?k,222329329?Sk?1?k2?k?3k?13,Sk?2?k2?k?6k?23,2222要使Sk?1?Sk,只要Sk?1?Sk?2Sk??13k??3k?13?01013????k?,?存在k?4符合题意3?3k?13?6k?233选②a4?b4时，a5??1,a4?b4?27,?a1?111,d??28?Sk?125k?14k2,?Sk?1?125k?14k2?28k?111?Sk?2?125k?14k2?56k?222,要使Sk?1?Sk,且Sk?1?Sk?2?-28k?111?0111111???k?,且k?,?不存在k符合题意2828?-28k?111?-56k?222选③S5??25时,a5??1,?d?2,a1??9,?2k?9?079同理求得???k??存在k?4符合题意。22?2k?7法二：?an?中，a5??1,a2?b1?b2??10,?d??3,选①在等差数列?an?3n?16,此时存在k?4,使ak?1?a5?0,ak?2?a6?2?0即存在k?4符合题意。选②同理可得an??28n?139,此时?an?为递减数列，?不存在正整数k符合题意。选③同理可得an?2n-11，此时存在k?4,使ak?1?a5?0,ak?2?a6?1?0即存在k?4符合题意。本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，是高考必考内容，题干的选择权交给考生是个新
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意，充分体现了能力立意和情境创新的考纲要求，同时自主选择，也让部分成绩薄弱的同学敢于尝试，激发做题兴趣。题目要求考生能够根据条件，自主分析，得出命题，并解决问题，这种自主推断题甚至是开放题后将成为新高考的热点。
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